Question

14．如圖所示，兩根電阻不計的相同平行金屬直導軌豎直放置，軌道間距為2L，軌道上端接一定值電阻，阻值為R，下端固定在絕緣的水平面上，一輕質彈簧固定在地面上和兩側軌道距離相等，MNQP區(qū)域有垂直于導軌平面向外的勻強磁場，磁感應強度為B，將質量為m，電阻不計的金屬桿ab套在軌道兩側，從距PQ為2L的位置由靜止釋放，由于兩側擠壓桿滑動過程中受到的總摩擦力大小f=$\frac{1}{4}$mg，已知ab桿下滑過程中離開磁場前已經勻速，ab桿離開磁場后下滑到距MN為L時彈簧壓縮到最短，然后反彈沿導軌向上運動到PQ時速度恰好為零．不計空氣阻力，重力加速度為g，在上述過程中，求：
（1）ab桿向下剛進入磁場時的速度v₀大小是多少？
（2）彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能E_p是多少？
（3）ab桿向下運動的過程和向上運動的過程中電阻R所產生的熱量之差△Q是多少？

Answer 1

分析 （1）ab下滑過程中，根據動能定理求解剛進入磁場時的速度v₀大小；
（2）金屬桿勻速時，根據共點力的平衡條件結合法拉第電磁感應定律和閉合電路的歐姆定律求解勻速運動的速度，從出磁場到彈簧壓到最短過程中，根據功能關系求解彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能E_p；
（3）根據功能關系求解下滑過程中電阻產熱為Q₁和上滑過程中電阻產熱為Q₂，由此求解電阻R所產生的熱量之差△Q．

解答 解：（1）ab下滑過程中，根據動能定理可得：
$mg•2L-f•2L=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v_0}=\sqrt{3gL}$；
（2）金屬桿勻速時，設速度為v₁
根據共點力的平衡條件可得：mg=f+F
而安培力F=2BIL
解得$I=\frac{E}{R}$
根據電動勢的計算公式可得：E=2BLv₁
聯立解得：${v_1}=\frac{3mgR}{{16{B^2}{L^2}_{\;}}}$
從出磁場到彈簧壓到最短過程中，根據功能關系可得：$mgL+\frac{1}{2}mv_1^2=fL+{E_p}$
解得：${E_p}=\frac{3}{4}mgL+\frac{{9{m^3}{g^2}{R^2}}}{{512{B^4}{L^4}}}$；
（3）下滑過程中電阻產熱為Q₁，則：$mg•3L=\frac{1}{2}mv_1^2+{Q_1}+f•3L$
${Q_1}=\frac{9}{4}mgL-\frac{1}{2}mv_1^2$
上滑過程中電阻產熱為Q₂，則：E_p=Q₂+2mgL+2fL
解得${Q_2}=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{7}{4}mgL$
所以熱量之差：$△Q={Q_1}-{Q_2}=4mgL-\frac{{9{m^3}{g^2}{R^2}}}{{256{B^4}{L^4}}}$．
答：（1）ab桿向下剛進入磁場時的速度v₀大小是$\sqrt{3gL}$；
（2）彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能E_p是$\frac{3}{4}mgL+\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{512{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）ab桿向下運動的過程和向上運動的過程中電阻R所產生的熱量之差△Q是$4mgL-\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{256{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下物體的平衡問題；另一條是能量，分析電磁感應現象中的能量如何轉化是關鍵．