Question

（2009?廣東模擬）如圖所示，在水平面上有兩條光滑的長直平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ，導(dǎo)軌間距離為L，導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌所在平面．質(zhì)量分別為m_a、m_b的兩根金屬桿a、b跨擱在導(dǎo)軌上，接入電路的電阻均為R．輕質(zhì)彈簧的左端與b桿連接，右端被固定．開始時(shí)a桿以初速度v₀向靜止的b桿運(yùn)動(dòng)，當(dāng)a桿向右的速度為v時(shí)，b桿向右的速度達(dá)到最大值v_m，此過程中a桿產(chǎn)生的焦耳熱為Q，兩桿始終垂直于導(dǎo)軌并與導(dǎo)軌良好接觸．求當(dāng)b桿達(dá)到最 大速度v_m時(shí)，
（1）b桿受到彈簧的彈力
（2）彈簧具有的彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析：（1）b桿達(dá)到最大速度時(shí)，彈簧的彈力等于安培力，根據(jù)安培力大小公式與閉合電路歐姆定律及法拉第電磁感應(yīng)定律，推導(dǎo)出安培力表達(dá)式F_A=

B2L2(v-vm)

2R

即可求解．
（2）選取系統(tǒng)為研究對(duì)象，確定從開始到b桿最大速度作為過程，由動(dòng)能定理，結(jié)合產(chǎn)生焦耳熱即為安培力做功的值，來確定彈簧的彈性勢(shì)能．

解答：解：（1）設(shè)某時(shí)刻a、b桿速度分別為v和v_m，由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BL（v-v_m）
回路中的電流    I=

E

2R

     
B桿受到的安培力F_b=BIL
當(dāng)b桿的速度達(dá)到最大值v_m時(shí)，b桿的加速度為0，設(shè)此時(shí)b桿受到的彈簧彈力為T，由牛頓第二定律得   T=F_b
聯(lián)立以上各式解得    T=

B2L2(v-vm)

2R

（2）以a、b桿和彈簧為研究對(duì)象，設(shè)彈簧彈性勢(shì)能為E_p，由能量轉(zhuǎn)化與守恒定律
 

1

2

ma

v

2 0

=

1

2

mav2+

1

2

mb

v

2 m

+2Q+E_p
故  E_p=

1

2

ma

v

2 0

-

1

2

mav2-

1

2

mb

v

2 m

-2Q
答：
（1）b桿受到彈簧的彈力是

B2L2(v-vm)

2R

．
（2）彈簧具有的彈性勢(shì)能為

1

2

ma

v

2 0

-

1

2

mav2-

1

2

mb

v

2 m

-2Q．

點(diǎn)評(píng)：由于兩桿同時(shí)同向運(yùn)動(dòng)，所以切割的速度即為相對(duì)速度．同時(shí)考查閉合電路歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、動(dòng)能定理及安培力大小公式，并注意安培力做功與產(chǎn)生焦耳熱的關(guān)系，及彈力做功與彈簧的彈性勢(shì)能的關(guān)系．