Question

（14分）北京時(shí)間2005年4月12日20時(shí)0分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長(zhǎng)征三號(hào)乙”捆綁式運(yùn)載火箭，成功地將“亞太六號(hào)”通信衛(wèi)星(其質(zhì)量用m表示)送入太空。這顆“亞太六號(hào)”通信衛(wèi)星在圍繞地球的橢圓軌道上運(yùn)行如圖所示，離地球表面最近的點(diǎn)A(近地點(diǎn))高度L₁=209km(209×10³m)，離地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)B(遠(yuǎn)地點(diǎn))高度L₂=49991km(49991×10³m)。已知地球質(zhì)量M=6.0×10²⁴kg，引力常量G=×10^-9N?m²/kg²，地球半徑R=6400km=6.4×10⁶m。且在地球上空任一高度處h(h為到地球中心的距離)，衛(wèi)星具有的引力勢(shì)能表達(dá)式為，求：

   

（1）此衛(wèi)星在圍繞地球的橢圓軌道上從近地點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)B的時(shí)間約為幾天(設(shè)π²=10，保留兩位數(shù)字)；

（2）證明：v_A?(L₁+R)= v_B(L₂+R)。其中v_A和v_B分別是“亞太六號(hào)”通信衛(wèi)星在近地點(diǎn)A和遠(yuǎn)地點(diǎn)B的速度；L₁+R和L₂+R分別是“亞太六號(hào)”通信衛(wèi)星在近地點(diǎn)A和遠(yuǎn)地點(diǎn)B到地球球心的距離(提示：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知近地點(diǎn)A和遠(yuǎn)地點(diǎn)B所在軌道處的極小的弧形應(yīng)是半徑相等的圓弧的弧)；

（3）試計(jì)算“亞太六號(hào)”通信衛(wèi)星的發(fā)射速度v的大小是多少km/s(保留兩位數(shù)字)。

Answer 1

解析：

（1）衛(wèi)星圍繞地球的運(yùn)動(dòng)過程中，萬有引力提供向心力

       (1分)

整理得           (1分)

由開普勒定律及上面推證知任一橢圓中上式同樣適用   (1分)

由圖可得知半長(zhǎng)軸          (1分)

                    =31500km                      (1分)

天（2分）

從近地點(diǎn)A運(yùn)行到遠(yuǎn)地點(diǎn)B的時(shí)間  天           (1分)

（2）設(shè)近地點(diǎn)A和遠(yuǎn)地點(diǎn)B所在軌道處的極小圓弧的半徑為ρ，依題意知萬有引力提供向心力，即

      (2分)

      (2分)

聯(lián)立解得    v_A?(L₁+R)= v_B(L₂+R)                      (2分)

(3) 據(jù)機(jī)械能守恒及上面的證明得

      (1分)

 (1分)

v_A?(L₁+R)=v_B(L₂+R)

由以上各式聯(lián)立解得       (2分)

代入數(shù)據(jù)解得  v₀=10.6km/s (1分)