Question

5．如圖所示，足夠長的光滑金屬導軌與水平面的夾角為θ，兩導軌間距為L，在導軌上端接入電源和滑動變阻器，電源電動勢為E，內阻為r．一質量為m的導體棒ab與兩導軌垂直并接觸良好，整個裝置處于磁感應強度為B，垂直于斜面向上的勻強磁場中，導軌與導體棒的電阻不計．
（1）若要使導體棒ab靜止于導軌上，求滑動變阻器的阻值應取何值；
（2）若將滑動變阻器的阻值取為零，由靜止釋放導體棒ab，求釋放瞬間導體棒ab的加速度；
（3）求第（2）問所示情況中導體棒ab所能達到的最大速度的大�。�

Answer 1

分析 （1）導體棒靜止于導軌上，受重力、支持力和安培力處于平衡，根據安培力大小公式、閉合電路歐姆定律，結合共點力平衡求出滑動變阻器的阻值．
（2）根據閉合電路歐姆定律求出電流的大小，從而得出導體棒所受的安培力，根據牛頓第二定律求出釋放導體棒ab的加速度．
（3）當重力下滑分力與安培力相等時，導體棒ab達到最大速度，根據平衡求出最大速度．

解答 解：（1）若要使導體棒ab靜止于導軌上，則要求導體棒ab所受的重力、支持力、安培力三力平衡，導體棒在沿斜面方向的受力滿足：mgsinθ=F_安，
其中F_安=BIL，
設導體棒ab靜止時變阻器的阻值為R，由閉合電路歐姆定律有：$I=\frac{E}{R+r}$，
解得R=$\frac{BEL}{mgsinθ}-r$．
（2）當變阻器的阻值為零時，回路中的電流大于使導體棒ab靜止時的電流，安培力大于使導體棒ab靜止時的安培力，因此，由靜止開始釋放的瞬間，導體棒的加速度方向沿斜面向上．
由牛頓第二定律：F_安-mgsinθ=ma，
其中F_安=BIL，
由閉合電路歐姆定律：I=$\frac{E}{r}$，
解得釋放瞬間導體棒ab的加速度a=$\frac{ELB}{mr}-gsinθ$．
（3）當重力下滑分力與安培力相等時，導體棒ab達到最大速度v_m，
即當mgsinθ=BIL時，達到最大速度．
此時導體棒中由于切割產生的E=BLv_m，
由閉合電路歐姆定律，此時回路中的電流I=$\frac{E-BL{v}_{m}}{r}$．
解得${v}_{m}=\frac{EBL-mgrsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：（1）滑動變阻器的阻值應取$\frac{BEL}{mgsinθ}-r$；
（2）釋放瞬間導體棒ab的加速度為$\frac{ELB}{mr}-gsinθ$；
（3）導體棒ab所能達到的最大速度的大小為$\frac{EBL-mgrsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 本題是金屬棒平衡問題和動力學問題，關鍵分析受力情況，特別是分析和計算安培力的大小．難度中等．