Question

5．某興趣小組設(shè)計(jì)了如圖所示的玩具軌道，它由細(xì)圓管彎成，固定在豎直平面內(nèi)．左右兩側(cè)的斜直管道PA與PB的傾角、高度、粗糙程度完全相同，管口A、B兩處均用很小的光滑小圓弧管連接（管口處切線豎直），管口到底端的高度H₁=0.4m．中間“8”字型光滑細(xì)管道的圓半徑R=10cm（圓半徑比細(xì)管的內(nèi)徑大得多），并與兩斜直管道的底端平滑連接．一質(zhì)量m=0.5kg的小滑塊從管口 A的正上方H₂處自由下落，第一次到達(dá)最低點(diǎn)P的速度大小為10m/s．此后小滑塊經(jīng)“8”字型和PB管道運(yùn)動(dòng)到B處豎直向上飛出，然后又再次落回，如此反復(fù)．小滑塊視為質(zhì)點(diǎn)，忽略小滑塊進(jìn)入管口時(shí)因碰撞造成的能量損失，不計(jì)空氣阻力，且取g=10m/s2．求：
（1）滑塊第一次由A滑到P的過(guò)程中，克服摩擦力做功；
（2）滑塊第一次到達(dá)“8”字型管道頂端時(shí)對(duì)管道的作用力；
（3）滑塊第一次離開(kāi)管口B后上升的高度；
（4）滑塊能沖出槽口的次數(shù)．

Answer 1

分析 （1）對(duì)開(kāi)始下落到運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的過(guò)程中，運(yùn)用動(dòng)能定理，求出克服摩擦力做功的大��；
（2）對(duì)P到最高點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理，求出最高點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出滑塊對(duì)管道的作用力；
（3）對(duì)開(kāi)始釋放到第一次離開(kāi)管口上升到最大高度過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理，求出滑塊第一次離開(kāi)管口B后上升的高度；
（4）根據(jù)能量守恒求出滑塊能沖出槽口的次數(shù)

解答 解：（1）滑塊第一次由A滑到P的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}=mg（{H}_{1}+{H}_{2}）-{W}_{1}$
代入數(shù)據(jù)解得：W₁=2J．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}=-4mgR$
在“8”字型管道的最高點(diǎn)有：$mg+{F}_{N}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
管道對(duì)滑塊的彈力大小F_N=455N，方向向下，
滑塊對(duì)管道的彈力大小F_N′=455N，方向向上．
（3）滑塊第一次由A到B克服摩擦力做功為：W₂=2W₁=4J，
根據(jù)mg（H₂-h）=W₂得上升的高度為：h=4.2m．
（4）滑塊能沖出槽口的次數(shù)為$n=\frac{mg{H}_{2}}{{W}_{2}}=6.25$次，
所以滑塊能離開(kāi)槽口的次數(shù)為6次．
答：（1）滑塊第一次由A滑到P的過(guò)程中，克服摩擦力做功為2J；
（2）滑塊第一次到達(dá)“8”字型管道頂端時(shí)對(duì)管道的作用力為455N，方向向上；
（3）滑塊第一次離開(kāi)管口B后上升的高度為4.2m；
（4）滑塊能沖出槽口的次數(shù)為6次．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，運(yùn)用動(dòng)能定理解題，關(guān)鍵確定好研究的過(guò)程，分析過(guò)程中有哪些力做功，然后根據(jù)動(dòng)能定理列式求解