Question

12．如圖所示，在x軸上方有水平向左的勻強電場，電場強度為E₁；下方有豎直向上的勻強電場，電場強度為E₂，且E₁=E₂=$\frac{mg}{q}$．在x軸下方的虛線（虛線與茗軸成45°角）右側(cè)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B．有一長為L的輕繩一端固定在第一象限內(nèi)的O′點，且可繞O′點在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動；另一端拴有一質(zhì)量為m的小球，小球帶電量為+q．OO′與x軸成45°角，其長度也為L．先將小球放在O′點正上方，從繩恰好繃直處由靜止釋放，小球剛進(jìn)人有磁場的區(qū)域時將繩子斷開．
試求：
（1）繩子第一次剛拉直還沒有開始繃緊時小球的速度大小；
（2）小球剛進(jìn)入有磁場的區(qū)域時的速度大��；
（3）小球從進(jìn)入有磁場的區(qū)域到第一次打在x軸上經(jīng)過的時間．

Answer 1

分析 （1）在繩沒有拉直之前，小球做的是勻加速直線運動，位移的大小為繩的長度，根據(jù)勻變速直線運動的規(guī)律可以求得運動的時間；
（2）當(dāng)繩被拉直時，小球的沿著繩方向的速度變?yōu)榱�，只有垂直繩方向的速度的大小，之后再電場的作用下，小球加上運動，根據(jù)動能定理可以求得小球進(jìn)入磁場是的速度的大�。�
（3）小球在磁場中做的是圓周運動，根據(jù)圓周運動的周期公式可以求得小球的在磁場中運動的時間，小球離開磁場后，進(jìn)入電場在做勻速直線運動，由此可以求得小球的運動的總時間．

解答 解：（I）小球一開始受到的合力為$\sqrt{2}mg$，做勻加速直線運動．設(shè)繩子第一次剛拉直還沒有開始繃緊時小球的速度大小為v．根據(jù)動能定理可得：
$\sqrt{2}mg•\sqrt{2}L=\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
解得：$v=2\sqrt{gL}$…②
（2）設(shè)繩子剛繃緊后小球速度大小為v₂，則進(jìn)入
有磁場的區(qū)域時速度的大小為v₃則：
v₂=vcos45°…③
根據(jù)動能定理可得：
$\sqrt{2}mg（1-cos45°）L=\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$…④
聯(lián)立②③④式解得：
${v}_{3}=\sqrt{2\sqrt{2}gL}$…⑤
（3）帶電小球垂直于磁場邊界進(jìn)入有磁場的區(qū)域，做勻速圓周運動，設(shè)軌道半徑為r．由牛頓第二定律可得：
$Bq{v}_{3}=\frac{m{{v}_{3}}^{2}}{r}$…⑥
帶電小球運動半個圓周后，從磁場邊界射出有磁場的區(qū)域，然后做勻速直線運動，設(shè)勻速直線運動的距離為d．則：
由幾何關(guān)系得：d=2r…⑦
設(shè)小球從進(jìn)入有磁場的區(qū)域到第一次打在戈軸上經(jīng)過的時間為t．則：
$t=\frac{πr}{{v}_{3}}+\fracib9anzh{{v}_{3}}$…⑧
聯(lián)立⑥⑦⑧式解得：
$t=\frac{（π+2）m}{qB}$
答：（1）繩子第一次剛拉直還沒有開始繃緊時小球的速度大小為$2\sqrt{gL}$；
（2）小球剛進(jìn)入有磁場的區(qū)域時的速度大小為$\sqrt{2\sqrt{2}gL}$；
（3）小球從進(jìn)入有磁場的區(qū)域到第一次打在x軸上經(jīng)過的時間為$\frac{（π+2）m}{qB}$．

點評 電荷在勻強磁場中做勻速圓周運動，關(guān)鍵是畫出軌跡，由幾何知識求出半徑．定圓心角，求時間．