Question

11．如圖所示，坐標系xOy在豎直平面內，x軸沿水平方向．x＞0的區(qū)域有垂直于坐標平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B₁；第三象限同時存在著垂直于坐標平面向外的勻強磁場和豎直向上的勻強電場，磁感應強度大小為B₂，電場強度大小為E．x＞0的區(qū)域固定一與x軸成θ=30°角的絕緣細桿．一穿在細桿上的帶電小球a沿細桿勻速滑下，從N點恰能沿圓周軌道運動到x軸上的Q點，且速度方向垂直于x軸．已知Q點到坐標原點O的距離為$\frac{3}{2}$L，重力加速度為g，B₁=7E$\sqrt{\frac{1}{10πgL}}$，B₂=E$\sqrt{\frac{5π}{6gL}}$．空氣阻力忽略不計，求：
（1）帶電小球a的電性及其比荷$\frac{q}{m}$；
（2）帶電小球a與絕緣細桿的動摩擦因數(shù)μ；
（3）當帶電小球a剛離開N點時，從y軸正半軸距原點O為h=$\frac{20πL}{3}$的P點（圖中未畫出）以某一初速度平拋一個不帶電的絕緣小球b，b球剛好運動到x軸與向上運動的a球相碰，則b球的初速度為多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在第3象限做勻速圓周運動，重力和電場力平衡，洛倫茲力提供向心力，根據平衡條件求解電場強度；
（2）帶電小球在第3象限做勻速圓周運動，畫出軌跡，結合幾何關系得到半徑，然后結合牛頓第二定律求解速度；帶電小球a穿在細桿上勻速下滑，受重力、支持力和洛倫茲力，三力平衡，根據共點力平衡條件并結合合成法列式求解；
（3）絕緣小球b做平拋運動，根據平拋運動的分運動公式求解運動到x軸的時間；小球a在第3象限做圓周運動，第2象限做豎直上拋運動，分階段求解出其經過x軸的時間，然后根據等時性列式．

解答 解：（1）由帶電小球在第三象限內做勻速圓周運動可得：帶電小球帶正電，且mg=qE，解得：
$\frac{q}{m}=\frac{g}{E}$
（2）帶電小球從N點運動到Q點的過程中，有：
$qv{B_2}=m\frac{v^2}{R}$
由幾何關系有：$R+Rsinθ=\frac{3}{2}l$
聯(lián)解得：$v=\sqrt{\frac{5πgl}{6}}$
帶電小球在桿上勻速時，由平衡條件有：mgsinθ=μ（qvB₁-mgcosθ）
解得：$μ=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
（3）帶電小球在第三象限內做勻速圓周運動的周期為：
$T=\frac{2πR}{v}=\sqrt{\frac{24πl(wèi)}{5g}}$
帶電小球第一次在第二象限豎直上下運動的總時間為：
${t_0}=\frac{2v}{g}=\sqrt{\frac{10πl(wèi)}{3g}}$
絕緣小球b平拋運動垤x軸上的時間為：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=2\sqrt{\frac{10πl(wèi)}{3g}}$
兩球相碰有：$t=\frac{T}{3}+n（{t_0}+\frac{T}{2}）$
聯(lián)解得：n=1
設絕緣小球b平拋的初速度為v₀，則：$\frac{7}{2}l={v_0}t$
解得：${v_0}=\sqrt{\frac{147gl}{160π}}$
答：（1）帶電小球a的電性及其比荷$\frac{q}{m}$是$\frac{g}{E}$；
（2）帶電小球a與絕緣細桿的動摩擦因數(shù)μ是$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（3）b球的初速度為$\sqrt{\frac{147gl}{160π}}$；

點評 本題多物體、多過程、多規(guī)律，是典型的三多問題；關鍵是明確兩個小球的運動規(guī)律，然后分階段根據牛頓第二定律、平衡條件、運動學公式、平拋運動的分運動公式列式求解，較難．