Question

如圖所示,用細(xì)圓管組成的光滑軌道AB部分平直,BC部分是處于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓,圓管截面半徑r≤R.有一質(zhì)量為m、半徑比r略小的光滑小球以水平初速度v₀射入圓管,問(wèn):

(1)若要小球能從C端出來(lái),初速度v₀需多大?

(2)在小球從C端出來(lái)的瞬間,管壁對(duì)小球的壓力為mg,那么小球的初速度v₀應(yīng)為多少?

Answer 1

小球在細(xì)管內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,因不受摩擦力作用,只有重力做功,機(jī)械能守恒,從C端飛出時(shí)的速度大小v_c取決于AB段運(yùn)動(dòng)的初速度v₀的大小,而v_c的大小又決定了小球在C處對(duì)管壁有無(wú)壓力,如有壓力的話,是對(duì)上壁有壓力還是對(duì)下壁有壓力.

(1)要使小球能運(yùn)動(dòng)到C處,從C處出來(lái),必須滿足

mv₀²≥mg2R

即v₀≥.①

(2)以B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn),則小球到達(dá)C處時(shí)的重力勢(shì)能為mg2R,從B到C列機(jī)械能守恒方程

mv₀²=mg2R+mv_c²②

小球在C點(diǎn)受重力mg和細(xì)管豎直方向的作用力N,根據(jù)牛頓第二定律,得

mg+N=③

由②③解得

N=-5mg④

討論④式,即得答案:

①當(dāng)小球受到向下的壓力時(shí),

N=mg,v₀=.

②當(dāng)小球受到向上的壓力時(shí),

N=mg,v₀=.