Question

【題目】如圖所示，一個(gè)方向豎直向下的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E。勻強(qiáng)電場(chǎng)左右寬度和上下寬度均為L。一個(gè)帶正電荷的粒子(不計(jì)重力)從電場(chǎng)的左上方O1點(diǎn)以某一速度水平向右進(jìn)入電場(chǎng)，該粒子剛好從電場(chǎng)的右下方A點(diǎn)離開(kāi)電場(chǎng)；另一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為－q(q>0)的粒子(不計(jì)重力)從電場(chǎng)左下方O2點(diǎn)水平向右進(jìn)入電場(chǎng)，進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初動(dòng)能為Ek0。已知圖中O1、O2、A在同一豎直面內(nèi)，設(shè)O1點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立坐標(biāo)系。

(1)求帶正電荷的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡方程；

(2)求帶負(fù)電荷的粒子運(yùn)動(dòng)到“帶正電荷粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡”處的動(dòng)能；

(3)當(dāng)帶負(fù)電荷的粒子進(jìn)入電場(chǎng)的初動(dòng)能為多大時(shí)，它運(yùn)動(dòng)到“帶正電荷粒子運(yùn)動(dòng)軌跡”處時(shí)的動(dòng)能最小?動(dòng)能的最小值為多少?

Answer 1

【答案】(1)；(2) ；(3)，

【解析】

考察電場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡和能量變化。

取O1點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸，豎直向下為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示。

(1)對(duì)從O1點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，設(shè)該粒子的加速度為a1，初速度為v1，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，位置坐標(biāo)為（x，y），有

水平方向

豎直方向

消去時(shí)間參數(shù)t得拋物線方程。

因?yàn)殡x開(kāi)電場(chǎng)的A點(diǎn)坐標(biāo)（L，L）在該拋物線上，所以坐標(biāo)（L，L）滿足拋物線方程，把坐標(biāo)（L，L）代入拋物線方程得，代入拋物線方程可得其軌跡方程

(2)對(duì)從O2點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，設(shè)質(zhì)量為m、初速度為v0，加速度為a2，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，位移坐標(biāo)為（x，y），有：

水平方向

豎直方向

，

消去時(shí)間參數(shù)t得：

由題意有，聯(lián)立求解得交點(diǎn)P（x,y)坐標(biāo)為

，

從O2到P，對(duì)負(fù)粒子，根據(jù)動(dòng)能定理有

解得。

(3) 變形為

由判別式=0

Ek=

解得Ek=（負(fù)值舍去），

二次函數(shù)開(kāi)口向上，所以 ，即Ek的最小值為

時(shí)，電子進(jìn)入電場(chǎng)的動(dòng)能。

所以當(dāng)帶負(fù)電荷的粒子進(jìn)入電場(chǎng)的動(dòng)能為時(shí)，它運(yùn)動(dòng)到“帶正電荷粒子運(yùn)動(dòng)軌跡”處時(shí)的動(dòng)能最小，動(dòng)能的最小值為。