Question

7．已知太陽球心到地球球心的距離為L，地球公轉(zhuǎn)軌道可近似成圓軌道，公轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，又已知“嫦娥三號”衛(wèi)星在月球上空繞月球做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，經(jīng)過時(shí)間t通過的弧長為s，衛(wèi)星與月球中心連線掃過的角度是θ弧度．求：
（1）太陽質(zhì)量M₁；
（2）地球質(zhì)量M₂；
（3）月球質(zhì)量M₃．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力求太陽質(zhì)量${M}_{1}^{\;}$
（2）在地球表面物體重力等于萬有引力求地球質(zhì)量${M}_{2}^{\;}$
（3）根據(jù)圓周運(yùn)動的規(guī)律求出線速度和角速度，根據(jù)萬有引力提供向心力求月球質(zhì)量${M}_{3}^{\;}$

解答 解：（1）地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，有
$G\frac{{M}_{1}^{\;}{M}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={M}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}L$
解得：${M}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）地球表面物體重力等于萬有引力$mg=G\frac{{M}_{2}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：${M}_{2}^{\;}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
（3）衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，有
$G\frac{{M}_{3}^{\;}m}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
$v=\frac{s}{t}$
$ω=\frac{θ}{t}$
$r=\frac{s}{θ}$
聯(lián)立得${M}_{3}^{\;}=\frac{{v}_{\;}^{2}r}{G}=\frac{（\frac{s}{t}）_{\;}^{2}\frac{s}{θ}}{G}=\frac{{s}_{\;}^{3}}{{t}_{\;}^{2}Gθ}$
答：（1）太陽質(zhì)量${M}_{1}^{\;}$為$\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）地球質(zhì)量${M}_{2}^{\;}$為$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$；
（3）月球質(zhì)量${M}_{3}^{\;}$為$\frac{{s}_{\;}^{3}}{{t}_{\;}^{2}Gθ}$．

點(diǎn)評 解答萬有引力定律在天體運(yùn)動中的應(yīng)用時(shí)要明確天體做勻速圓周運(yùn)動，其受到的萬有引力提供向心力，會用線速度、角速度、周期表示向心力，同時(shí)注意公式間的化簡．