Question

如圖所示的坐標(biāo)系，在y軸左側(cè)有垂直紙面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在x=L處，有一個(gè)與x軸垂直放置的屏，y軸與屏之間有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)．在坐標(biāo)原點(diǎn)O處同時(shí)釋放兩個(gè)均帶正電荷的粒子A和B，粒子A的速度方向沿著x軸負(fù)方向，粒子B的速度方向沿著x軸正方向．已知粒子A的質(zhì)量為m，帶電量為q，粒子B的質(zhì)量是n₁m，帶電量為n₂q，釋放瞬間兩個(gè)粒子的速率滿足關(guān)系式mv_A=n₁mv_E．若已測(cè)得粒子A在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r，粒子B擊中屏的位置到x軸的距離也等于r．粒子A和粒子B的重力均不計(jì)．
（1）試在圖中畫出粒子A和粒子B的運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖．
（2）求：粒子A和粒子B打在屏上的位置之間的距離．

Answer 1

分析：（1）粒子A在磁場(chǎng)中做半個(gè)圓周的勻速圓周運(yùn)動(dòng)后進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，粒子B在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，可畫出軌跡．
（2）粒子A在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌跡的半徑．粒子A和粒子B做類平拋運(yùn)動(dòng)過程中，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法求出偏轉(zhuǎn)的距離，由幾何關(guān)系即可求解粒子A和粒子B打在屏上的位置之間的距離．

解答：解：（1）粒子A在磁場(chǎng)中做半個(gè)圓周的勻速圓周運(yùn)動(dòng)后進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)打在屏上的位置為Q點(diǎn)，粒子B直接在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)打在屏上的位置為P點(diǎn)，軌跡如圖所示．
（2）由題意，兩個(gè)粒子的速率滿足關(guān)系式 mv_A=n₁mv_B 
粒子A在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律  得，
   qv_AB=m

v 2 A

r

解得  v_A=

qBr

m

，v_B=

qBr

n1m

粒子A和粒子B做類平拋運(yùn)動(dòng)過程中，沿電場(chǎng)方向上的側(cè)移分別為
y_A=

1

2

?

qE

m

(

L

vA

)2，
y_B=r=

1

2

?

n2qE

n1m

(

L

vB

)2
由以上兩式解得 y_A=

r

n1n2

所以，粒子A和粒子B打在屏上的位置之間的距離為△y=（2r-y_A）+r=3r-

r

n1n2

答：
（1）粒子A和粒子B的運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖如圖所示．
（2）粒子A和粒子B打在屏上的位置之間的距離是3r-

r

n1n2

．

點(diǎn)評(píng)：本題中帶電粒子分別磁場(chǎng)中和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵，同時(shí)，要會(huì)運(yùn)用幾何知識(shí)求解距離與粒子半徑和偏轉(zhuǎn)距離的關(guān)系，難度適中．