Question

10．如圖所示，電阻不計(jì)的兩光滑平行金屬導(dǎo)軌相距L=1m，其中MN左側(cè)水平并接有R=2Ω的電阻，MN右側(cè)彎成半徑a=1m的半圓形且處在豎直平面內(nèi)，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1T，方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中（圖中只畫(huà)了一條磁感線(xiàn)），一質(zhì)量為m=0.1kg，電阻r=1Ω的金屬棒在外界拉力的作用下，沿著軌道以v=2m/s的恒定速率向半圓導(dǎo)軌最高處PQ運(yùn)動(dòng)，金屬棒與導(dǎo)軌始終垂直且接觸良好，g取10m/s²，求：
（1）從金屬棒經(jīng)過(guò)最低處MN開(kāi)始計(jì)時(shí)，t時(shí)刻金屬棒在半圓形導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式；
（2）金屬棒從半圓形導(dǎo)軌最低處MN運(yùn)動(dòng)到最高處PQ的過(guò)程中拉力做的功．（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求出t時(shí)刻金屬棒在半圓形導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)安培力做功等于電路中的電能，結(jié)合交流電的有效值，根據(jù)產(chǎn)生的熱量，運(yùn)用動(dòng)能定理求出拉力做功的大小．

解答 解：（1）如圖，t時(shí)刻$θ=\frac{vt}{a}$，
導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e=BLvcosθ，即金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)表達(dá)式$e=2cos2t（V）\\;（t≤\frac{π}{2}s）$
（2）整個(gè)過(guò)程對(duì)金屬棒運(yùn)用動(dòng)能定理，設(shè)拉力做的功為W_F，克服安培力做功為W_安，則
W_F-W_安-mg•2a=0
由于金屬棒產(chǎn)生的是余弦交流電，所以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$，
克服安培力做功等于電路中的電能，則${W}_{安}=\frac{{E}^{2}}{R+r}t$，
其中t=$\frac{πa}{v}$，
代入數(shù)據(jù)解得：W_F=3J．
答：（1）t時(shí)刻金屬棒在半圓形導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式為$e=2cos2t（V）\\;（t≤\frac{π}{2}s）$
（2）金屬棒從半圓形導(dǎo)軌最低處MN運(yùn)動(dòng)到最高處PQ的過(guò)程中拉力做的功為3J．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)、交變電流的綜合，把握在半圓軌道上產(chǎn)生的感應(yīng)電流規(guī)律，知道對(duì)于交變電流，必須用有效值求熱量．