Question

13．如圖1所示，空間存在著方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)和方向垂直于紙面向內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電量為+q、質(zhì)量為m的小球Q靜置在光滑絕緣的水平高臺(tái)邊緣，另一質(zhì)量為m不帶電的絕緣小球P以水平初速度v₀向Q運(yùn)動(dòng)，v₀=$\frac{mg}{2qB}$，小球P、Q正碰過(guò)程中沒(méi)有機(jī)械能損失且電荷量不發(fā)生轉(zhuǎn)移，已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E=$\frac{mg}{q}$，水平臺(tái)面距離地面高度h=$\frac{{2{m^2}g}}{{{q^2}{B^2}}}$，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．

（1）求P、Q兩球首次發(fā)生彈性碰撞后，小球Q的速度大��；
（2）P、Q兩球首次發(fā)生彈性碰撞后，經(jīng)多少時(shí)間小球P落地，落地點(diǎn)與平臺(tái)邊緣間的水平距離多大？
（3）若撤去勻強(qiáng)電場(chǎng)，并將小球Q重新放在平臺(tái)邊緣，小球P仍以水平初速度v₀=$\frac{mg}{2qB}$向Q運(yùn)動(dòng)，小球Q的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，已知Q球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)所受全力的大小相等，求小球Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度和第一次下降的最大距離H．

Answer 1

分析 （1）P、Q兩球發(fā)生彈性碰撞，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，據(jù)此列式，可求得碰撞后小球Q的速度大�。�
（2）兩球碰撞后交換速度，Q球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，經(jīng)過(guò)一個(gè)周期時(shí)間再次與P球碰撞，交換速度，P球做平拋運(yùn)動(dòng)．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解即可．
（3）PQ相碰之后小球Q開(kāi)始做曲線運(yùn)動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)到最低位置時(shí)下落高度為H，此時(shí)速度最大，根據(jù)動(dòng)能定理列式得到最大速度．任意時(shí)刻v沿水平向右方向、豎直向下方向的分速度分別為v_x、v_y．與v_y相對(duì)應(yīng)的洛倫茲力水平向右，為 f_x=qv_yB，小球Q到最低點(diǎn)的過(guò)程中，運(yùn)用動(dòng)量定理可求解．

解答 解：（1）小球P、Q首次發(fā)生彈性碰撞時(shí)，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得：
  mv₀=mv_P+mv_Q；
  $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
聯(lián)立解得 v_P=0，v_Q=v₀=$\frac{mg}{2qB}$．
（2）對(duì)于小球Q，由于qE=mg，故Q球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，則
  qv_QB=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{r}$
經(jīng)時(shí)間t₁=T=$\frac{2πm}{qB}$小球P、Q再次發(fā)生彈性碰撞，由（1）可知碰后：v_P′=v₀=$\frac{mg}{2qB}$，v_Q′=0
小球P離開(kāi)平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，t₂=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{2m}{qB}$
所以P與Q首次發(fā)生碰撞后到落地，經(jīng)過(guò)的時(shí)間 t=$\frac{2πm}{qB}$+$\frac{2m}{qB}$=$\frac{2m}{qB}$（π+1）
落地點(diǎn)與平臺(tái)邊緣的水平距離 x_P=v_P′t₂=$\frac{{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$
（3）PQ相碰后，Q球速度v_Q=v₀=$\frac{mg}{2qB}$，之后小球Q以速度v_Q開(kāi)始做曲線運(yùn)動(dòng)．
設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低位置時(shí)下落高度為H，此時(shí)速度最大為v_m，方向水平向右．
由動(dòng)能定理得：mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
任意時(shí)刻v沿水平向右方向、豎直向下方向的分速度分別為v_x、v_y．
與v_y相對(duì)應(yīng)的洛倫茲力水平向右，為 f_x=qv_yB
小球Q到最低點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)量定理得：
  $\sum_{\;}^{\;}$f_x△t=∑qv_yB△t=qB$\sum_{\;}^{\;}$v_y△t=qBH=mv_m-mv_Q；
聯(lián)立解得 H=$\frac{{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$，v_m=$\frac{3mg}{2qB}$
答：
（1）P、Q兩球首次發(fā)生彈性碰撞后，小球Q的速度大小為$\frac{mg}{2qB}$．
（2）P、Q兩球首次發(fā)生彈性碰撞后，經(jīng)$\frac{2m}{qB}$（π+1）時(shí)間小球P落地，落地點(diǎn)與平臺(tái)邊緣間的水平距離為$\frac{{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．
（3）小球Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度為$\frac{3mg}{2qB}$，第一次下降的最大距離H為$\frac{{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題要正確分析兩球的受力情況，準(zhǔn)確把握彈性碰撞的規(guī)律：動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，關(guān)鍵要運(yùn)用積分法動(dòng)量定理求解最大速度．