Question

（15分）如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長為R．下端固定的輕質(zhì)彈簧。投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0．5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去。設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達管口C時，對管壁的作用力恰好為零。不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能。已知重力加速度為g。

求：                   

⑴質(zhì)量為m的魚餌到達管口C時的速度大小v₁；

                        ⑵彈簧壓縮到0．5R時的彈性勢能E_p；

⑶已知地面與水面相距1．5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90º角的范圍內(nèi)來回緩慢轉(zhuǎn)動，每次彈射時只放置一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量在2m/3到m之間變化，且均能落到水面。持續(xù)投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

 

Answer 1

【答案】

(1)     (2) 3mgR   (3) 或

【解析】

試題分析：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，

則mg =       1′  

解得　v₁ =    1′

（2）彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機械能，由機械能守恒定律有

    2′   

解得　     1′

（3）不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動裝置對魚餌速度大小的影響，質(zhì)量為m的魚餌離開管口C后做平拋運動，設(shè)經(jīng)過t時間落到水面上，離OO′的水平距離為x₁，由平拋運動規(guī)律有

4.5R = ，    1′    

，  1′    

解得　    1′

當(dāng)魚餌的質(zhì)量為時，設(shè)其到達管口C時速度大小為，由機械能定律有

    2′

解得　 

質(zhì)量為的魚餌落到水面上時，設(shè)離OO′的水平距離為x₂，

則     1′

解得　      1′

魚餌能夠落到水面的最大面積S =       2′

      1′

考點：機械能守恒、平拋運動規(guī)律

點評：中等難度。本題中彈性勢能每次都是一樣的，質(zhì)量不同的魚食從管口射出時的速度不一樣，落點就不一樣，是個范圍，求出最大值和最小值，兩個面積差就是所求面積。