Question

15．1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如圖（甲）所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計．磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場與盒面垂直．A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為+q，初速度為0，在加速器中被加速，加速電壓為U，加速過程中不考慮相對論效應(yīng)和重力作用．
（1）求粒子第1次和第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；
（2）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t；
（3）近年來，大中型粒子加速器往往采用多種加速器的串接組合．例如由直線加速器做為預(yù)加速器，獲得中間能量，再注入回旋加速器獲得最終能量．n個長度逐個增大的金屬圓筒和一個靶，它們沿軸線排列成一串，如圖（乙）所示（圖中只畫出了六個圓筒，作為示意）．各筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端．整個裝置放在高真空容器中．圓筒的兩底面中心開有小孔．現(xiàn)有一電量為q、質(zhì)量為m的正離子沿軸線射入圓筒，并將在圓筒間的縫隙處受到電場力的作用而加速（設(shè)圓筒內(nèi)部沒有電場）．縫隙的寬度很小，離子穿過縫隙的時間可以不計．已知離子進入第一個圓筒左端的速度為v₁，且此時第一、二兩個圓筒間的電勢差φ₁-φ₂=-U．為了使離子以最短時間打到靶上且獲得最大能量，金屬圓筒的長度應(yīng)滿足什么條件？并求出在這種情況下打到靶上的離子的能量．

Answer 1

分析 （1）電場力時粒子在電場中加速，根據(jù)動能定理求得速度，洛倫茲力提供粒子在磁場中做圓周運動所需要的向心力即可求得半徑；
（2）根據(jù)$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$求得粒子射出時具有的最大動能，所具有的動能為粒子在電場中的加速獲得的，根據(jù)加速次數(shù)即可求得運動時間；
（3）由動能定理可以求出筒的長度與粒子獲得的動能．

解答 解：（1）設(shè)粒子第1次經(jīng)過狹縫后的速度為v₁，半徑為r₁．$qU=\frac{1}{2}mv_1^2$
qv₁B=$m\frac{v_1^2}{r_1}$
解得：${r_1}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
同理，粒子第2次經(jīng)過狹縫后的半徑${r_2}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m•2U}{q}}$
則$\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$
（2）粒子在磁場中運動一周，被電場加速兩次．設(shè)粒子到出口處被加速了n次．nUq=$\frac{1}{2}mv_m^2$
qv_mB=$m\frac{v_m^2}{R}$
解得：$n=\frac{{q{B^2}{R^2}}}{2mU}$
帶電粒子在磁場中運動的周期$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$
粒子在磁場中運動的總時間$t=\frac{n}{2}T=\frac{{πB{R^2}}}{2U}$
（3）為了使離子以最短時間打到靶上且獲得最大能量，要求離子每次穿越縫隙時，前一個圓筒的電勢比后一個圓筒的電勢高U，穿過每個圓筒的時間恰好等于交流電的半個周期．由于圓筒內(nèi)無電場，離子在筒內(nèi)做勻速運動．設(shè)v_n為離子在第n個圓筒內(nèi)的速度，則第n個圓筒的長度${L_n}={v_n}•\frac{T}{2}=\frac{v_n}{2f}$
$（n-1）qU=\frac{1}{2}m{v_n}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$
${v_n}=\sqrt{\frac{2（n-1）qU}{m}+{v_1}^2}$
第n個圓筒的長度應(yīng)滿足的條件為${L_n}=\frac{1}{2f}\sqrt{\frac{2（n-1）qU}{m}+{v_1}^2}$（n=1，2，3，…）
離子打到靶上的能量${E_{km}}=（n-1）qU+\frac{1}{2}m{v_1}^2$（n=1，2，3，…）
答：1）粒子第1次和第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比1：$\sqrt{2}$；
（2）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t為$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$；
（3）金屬圓筒的長度應(yīng)滿足${L_n}=\frac{1}{2f}\sqrt{\frac{2（n-1）qU}{m}+{v_1}^2}$（n=1，2，3，…）
這種情況下打到靶上的離子的能量${E_{km}}=（n-1）qU+\frac{1}{2}m{v_1}^2$（n=1，2，3，…）．

點評 回旋加速器中的電場起加速作用，磁場起偏轉(zhuǎn)作用；電場的周期應(yīng)與粒子做圓周運動的周期相等．