Question

如下圖所示為某鋼鐵廠的鋼錠傳送裝置、斜坡長為L=20 m，高為h=2 m，斜坡上緊排著一排滾筒。長為l=8 m、質量為m=1×10³ kg的鋼錠ab放在滾筒上，鋼錠與滾筒間的動摩擦因數為μ=0.3，工作時由電動機帶動所有滾筒順時針勻速轉動，使鋼錠沿斜坡向上移動，滾筒邊緣的線速度均為v=4 m/s。假設關閉電動機的瞬時所有滾筒立即停止轉動，鋼錠對滾筒的總壓力近似等于鋼錠的重力。取當地的重力加速度g=10 m/s²。試求：

（1）鋼錠從坡底（如下圖示位置）由靜止開始運動，直到b端到達坡頂所需的最短時間。

（2）鋼錠從坡底（如下圖示位置）由靜止開始運動，直到b端到達坡頂的過程中電動機至少要工作多長時間？

Answer 1

解：（1）鋼錠開始受到的滑動摩擦力為f₁=μmg=3×10³ N

由牛頓第二定律有f₁-mgsinα=ma₁

解得a₁=2 m/s²

鋼錠做勻加速運動的時間t₁==2 s

位移s₁=a₁t₁²=4 m

要使b端到達坡頂所需要的時間最短，需要電動機一直工作，鋼錠先做勻加速直線運動，當它的速度等于滾筒邊緣的線速度后，做勻速直線運動。

鋼錠做勻速直線運動的位移s₂=L-l-s₁=8 m

做勻速直線運動的時間t₂==2 s

所需最短時間t=t₁+t₂=4 s。

（2）要使電動機工作的時間最短，鋼錠的最后一段運動要關閉電動機，鋼錠勻減速上升，b端到達坡頂時速度剛好為零。

勻減速上升時f₁+mgsinα=ma₂

解得a₂=4 m/s²

勻減速運動時間t₃==1 s

勻減速運動位移s₃=t₃=2 m

勻速運動的位移s₄=L-l-s₁-s₃=6 m

電動機至少要工作的時間t=t₁+=3.5 s。