Question

1．如圖甲所示，一對平行金屬板M、N長為L，相距為d，O₁O為中軸線．當兩板間加電壓U_MN=U₀時，兩板間為勻強電場，忽略兩極板外的電場．某種帶負電的粒子從O₁點以速度v₀沿O₁O方向射入電場，粒子恰好打在上極板M的中點，粒子重力忽略不計．
（1）求帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）若M、N間加如圖乙所示的交變電壓，其周期T=$\frac{L}{{v}_{0}}$，從t=0開始，前$\frac{T}{3}$內U_MN=2U，后$\frac{2T}{3}$內U_MN=-U，大量的上述粒子仍然以速度v₀沿O₁O方向持續(xù)射入電場，最終所有粒子恰好能全部離開電場而不打在極板上，求U的值．
（3）若M、N間加如圖乙所示的交變電壓，其周期T=$\frac{L}{{v}_{0}}$，大量的上述粒子仍然以速度v₀沿O₁O方向持續(xù)射入電場，最終所有粒子恰好能全部離開電場而不打在極板上，求所有粒子在運動中偏離中軸線最小位移與最大位移比值的大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，由運動的合成與分解規(guī)律可求得比荷；
（2）由題意可知粒子在電場中的運動過程，根據(jù)電場的周期性變化規(guī)律可明確粒子在電場中的運動規(guī)律，根據(jù)條件則可求得電壓值．
（3）在所有粒子剛好能全部離開電場而不打在極板上，可以確定在t=nT+$\frac{T}{6}$ 或t=nT+$\frac{2}{3}$T （n=0，1，2…）時刻進入電場的粒子恰好從中軸線飛出．它們在運動過程中電場方向偏轉的距離最�。�在t=nT或t=nT+$\frac{1}{3}$T（n=0，1，2…）時刻進入電場的粒子恰好分別從極板右側上、下邊緣處飛出．它們在運動過程中電場方向偏轉的距離最大．

解答 解：（1）設粒子經過時間t₀打在M板中點，沿極板方向有：$\frac{L}{2}$=v₀t₀
垂直極板方向有：$\fracjf51vl9{2}$=$\frac{q{U}_{0}}{2md}{t}_{0}^{2}$
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{47lf9911^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$．
（2）粒子通過兩板時間 t=$\frac{L}{{v}_{0}}$=T，從t=0時刻開始，粒子在兩板間運動時，每個電壓變化周期的前三分之一時間內方向垂直極板的加速度大小為：a₁=$\frac{2qU}{md}$
（或在每個電壓變化周期的后三分之二時間內方向垂直極板的加速度大小為：a₂=$\frac{qU}{md}$）
所有粒子剛好能全部離開電場而不打在極板上，可以確定在t=nT或t=nT+$\frac{1}{3}$T（n=0，1，2…）時刻進入電場的粒子恰好分別從極板右側上、下邊緣處飛出．它們在電場方向偏轉的距離最大，則：$\frac9hp9fnh{2}$=$\frac{1}{2}$（a₁•$\frac{T}{3}$）T   
可解得：U=$\frac{3{U}_{0}}{8}$．
（3）在所有粒子剛好能全部離開電場而不打在極板上，可以確定在t=nT+$\frac{T}{6}$ 或t=nT+$\frac{2}{3}$T （n=0，1，2…）時刻進入電場的粒子恰好從中軸線飛出．它們在運動過程中電場方向偏轉的距離最小，則偏離中軸線最小位移為：y=$\frac{1}{2}$（a₁•$\frac{T}{6}$）$\frac{T}{2}$ 
可以確定在t=nT或t=nT+$\frac{1}{3}$T（n=0，1，2…）時刻進入電場的粒子恰好分別從極板右側上、下邊緣處飛出．它們在運動過程中電場方向偏轉的距離最大，則偏離中軸線最大位移為：Y=$\frac{1}{2}$（a₁•$\frac{T}{3}$）T
所以粒子在運動中偏離中軸線最小位移與最大位移比值的大小為：$\frac{y}{Y}$=$\frac{1}{4}$．
答：（1）帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$是$\frac{4bvt9vbn^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$；
（2）U為$\frac{3{U}_{0}}{8}$．
（3）粒子在運動中偏離中軸線最小位移與最大位移比值的大小是$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查帶電粒子在電場中的運動，關鍵要正確分析帶電粒子的運動情況，要掌握電場中類平拋運動的研究方法：運動的合成與分解法，運用動力學規(guī)律解答．