Question

11．如圖，豎直平面坐標(biāo)系xoy的第一象限，有垂直xoy面向外的水平勻強(qiáng)磁場和豎直向上的勻強(qiáng)電場，大小分別為B和E；第四象限有垂直xoy面向里的水平勻強(qiáng)電場，大小也為E；第三象限內(nèi)有一絕緣光滑豎直放置的半徑為R的半圓軌道，軌道最高點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O相切，最低點(diǎn)與絕緣光滑水平面相切于N．質(zhì)量為m的帶電小球從y軸上（y＞0）的P點(diǎn)沿x軸正方向進(jìn)入第一象限后做圓周運(yùn)動，恰好通過坐標(biāo)原點(diǎn)O，水平切入半圓軌道并沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動，過N點(diǎn)水平進(jìn)入第四象限，并在電場中運(yùn)動（已知重力加速度為g）．
（1）判斷小球的帶電性質(zhì)并求出其所帶電荷量；
（2）P點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)O至少多高；
（3）若該小球以滿足（2）中OP最小值的位置和對應(yīng)速度進(jìn)入第一象限，通過N點(diǎn)開始計時，則經(jīng)時間t=4$\sqrt{\frac{R}{g}}$小球距坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離s為多遠(yuǎn)？（結(jié)果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）小球進(jìn)入第一象限正交的 電場和磁場后，在垂直磁場的 平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，說明重力與電場力平衡從而判定小球的電性和電量．
（2）設(shè)勻速圓周運(yùn)動的 速度為v、軌道半徑為r由洛倫茲力提供向心力；小球恰能通過半圓軌道的 最高點(diǎn)并沿軌道運(yùn)動，則應(yīng)滿足重力恰好提供向心力，聯(lián)立即可求出P點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)O至少多高；
（3）小球由O運(yùn)動到N的過程中由機(jī)械能守恒，小球從N點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域后，在絕緣光滑水平面上作類平拋運(yùn)動．根據(jù)運(yùn)動的類型，寫出相應(yīng)的公式，就可以求解．

解答 解：（1）小球進(jìn)入第一象限正交的電場和磁場后，在垂直磁場的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，說明重力與電場力平衡．設(shè)小球所帶電荷量為q，則有：qE=mg①
解得：$q=\frac{mg}{E}$②
又電場方向豎直向上故小球帶正電．
（2）設(shè)勻速圓周運(yùn)動的速度為v、軌道半徑為r，由洛倫茲力提供向心力得：qv=$\frac{m{v}^{2}}{r}$…③
小球恰能通過半圓軌道的最高點(diǎn)并沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動，則應(yīng)滿足：$mg=\frac{m{v}^{2}}{r}$…④
由③④得：$r=\frac{{m\sqrt{gR}}}{qB}$…⑤
即得PO的最小距離為：$y=2r=\frac{2E}{B}\sqrt{\frac{R}{g}}$…⑥
（3）小球由O運(yùn)動到N的過程中，設(shè)到達(dá)N點(diǎn)的速度為v_N，由機(jī)械能守恒得：$mg•（2R）=\frac{1}{2}mv_N^2-\frac{1}{2}m{v^2}$…⑦
由④⑦解得：${v_N}=\sqrt{5gR}$
小球從N點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域后，在絕緣光滑水平面上作類平拋運(yùn)動．設(shè)加速度為a，則有：
沿x軸方向：x=v_Nt…⑧
沿電場方向：$z=\frac{1}{2}a{t^2}$…⑨
由牛頓第二定律得：$a=\frac{qE}{m}$
t時刻小球距O點(diǎn)為：$s=\sqrt{{x^2}+{z^2}+{{（2R）}^2}}=2\sqrt{37}R$
答：（1）小球的帶正電，其所帶電荷量是$\frac{mg}{E}$；
（2）P點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)O至少是$\frac{2E}{B}\sqrt{\frac{R}{g}}$；
（3）若該小球以滿足（2）中OP最小值的位置和對應(yīng)速度進(jìn)入第一象限，通過N點(diǎn)開始計時，則經(jīng)時間t=4$\sqrt{\frac{R}{g}}$小球距坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離s為$2\sqrt{37}R$．

點(diǎn)評 該題中，設(shè)置的情景比較復(fù)雜，運(yùn)動的過程較多，一定要理清運(yùn)動的過程和各個過程中的受力以及做功的情況，再選擇合適的公式進(jìn)行解題．