Question

【題目】類比法、等效法等都是研究和學(xué)習(xí)物理過(guò)程中常用的重要方法：

(1)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是機(jī)械振動(dòng)中最簡(jiǎn)單的一種理想化的運(yùn)動(dòng)模型。它具有如下特點(diǎn)：①簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體受到的回復(fù)力，大小與物體偏離平衡位置的位移 x 成正比，方向與 x 方向相反；②簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有周期性。

通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：如圖甲，擺長(zhǎng)為 L、擺球質(zhì)量為 m 的單擺，在重力場(chǎng)中做小角度擺動(dòng)時(shí)可以看作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期為T = 2π，g 為當(dāng)?shù)刂亓�加速度�?/span>

現(xiàn)將該單擺的擺球帶上正電，電量為+q。分別置于豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E（圖乙）、和垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng) B（圖丙）中，并均做小角度的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。已知細(xì)線是絕緣的，類比重力場(chǎng)中的單擺周期公式，分析求出該單擺在乙、丙兩圖中振動(dòng)的周期。

(2)物理中存在“通量”這個(gè)物理量，“通量”的定義要用到高等數(shù)學(xué)知識(shí)。在高中階段，對(duì)“通量”的定義采用的是簡(jiǎn)單化處理方法并輔以形象化物理模型進(jìn)行理解。

①“磁通量”就是一種常見(jiàn)的“通量”。在高中階段我們是這樣來(lái)定義“磁通量”的：設(shè)在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一個(gè)與磁場(chǎng)方向垂直、面積為 S 的平面，我們把 B 與 S 的乘積叫做穿過(guò)這個(gè)面積的磁通量（圖1），簡(jiǎn)稱磁通，用字母 Φ 表示，則 Φ=BS。

如圖2所示，空間存在水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B。一個(gè)面積為S 矩形線圈與豎直面間的夾角為θ，試求穿過(guò)該矩形線圈的磁通量 Φ。

② “電通量”也是一種常見(jiàn)“通量”。在定義“電通量”時(shí)只需要把“磁通量”中的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 替換為電場(chǎng)強(qiáng)度 E即可。已知靜電力常量為 k，請(qǐng)同學(xué)們充分運(yùn)用類比的方法解決以下問(wèn)題：

a.如圖 3，空間存在正點(diǎn)電荷Q ，以點(diǎn)電荷為球心作半徑為 R 的球面。試求通過(guò)該球面的電通量 ΦE1；

b.上述情況映射的是靜電場(chǎng)中“高斯定理”，“高斯定理”可以從庫(kù)侖定律出發(fā)得到嚴(yán)格證明。“高斯定理”可表述為：通過(guò)靜電場(chǎng)中任一閉合曲面的電通量等于閉合曲面內(nèi)所含電荷量 Q 與 4πk 的乘積，即 ΦE=4πkQ；試根據(jù)“高斯定理”證明：一個(gè)半徑為R的均勻帶電球體（或球殼）在外部產(chǎn)生的電場(chǎng)，與一個(gè)位于球心的、電荷量相等的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)相同，球外各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度也是 =k （r），式中 r 是球心到該點(diǎn)的距離，為整個(gè)球體所帶的電荷量。

Answer 1

【答案】（1），；（2）a.，b.證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)圖乙中，擺球受到重力G、電場(chǎng)力F電和擺線拉力T，與重力場(chǎng)中的單擺類比，

等效的“重力”

，

帶入單擺周期公式得

圖丙中，擺球受到重力G、洛倫茲力F洛和擺線拉力T，與重力場(chǎng)中的單擺類比，洛倫茲力始終沿?cái)[線方向，不產(chǎn)生回復(fù)力的效果

單擺周期與重力場(chǎng)中相同

(2)①當(dāng)面積為的矩形線圈與豎直面間的夾角為時(shí)，線圈在磁場(chǎng)垂直方投影面積為，磁通量

(2)a.根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式，求得球面上各處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為

由于球面上各處電場(chǎng)強(qiáng)度方向都與球面垂直，故通過(guò)球面的電通量為

b.證明：過(guò)距離球心距離的點(diǎn)作一球面，根據(jù)對(duì)稱性可知該球面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向處處球面垂直。設(shè)該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為，通過(guò)該球面的電通量為，則有

由高斯定理知

所以有

化簡(jiǎn)得

這就是球心處的點(diǎn)電荷在處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，證明完畢。