Question

11．相距L的足夠長金屬導(dǎo)軌與水平方向成α角傾斜放置，長度均為L的質(zhì)量為m₁的金屬棒ab和質(zhì)量為m₂的金屬棒cd通過固定在棒兩端的金屬輕滑環(huán)套在導(dǎo)軌上，如圖甲所示，虛線oo₁上方磁場方向垂直于斜面向上，虛線下方磁場方向平行于斜面向上，兩處勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小均為B．a(chǎn)b兩端的滑環(huán)是光滑的，cd兩端的滑環(huán)與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為μ（μ＜tanα），兩金屬棒在導(dǎo)軌間的總電阻為R，導(dǎo)軌和滑環(huán)的電阻不計．金屬棒ab在沿斜面向上的外力F作用下，從靜止開始沿導(dǎo)軌向上做加速度為a的勻加速直線運動．金屬棒ab開始運動的同時，金屬棒cd也由靜止釋放．以金屬棒ab開始運動為計時起點．重力加速度為g．
（1）求t₀時刻作用在金屬棒ab上的外力F的大��；
（2）從靜止開始到t₀時刻外力F做功為W，求回路在這一過程中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）簡述金屬棒cd釋放后將做怎樣的運動，并在圖乙中定性畫出金屬棒cd所受摩擦力f_cd隨時間變化的圖象．

Answer 1

分析 （1）ab棒在外力F作用下做勻加速直線運動，所受的合外力一定．由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL、v=at，及牛頓第二定律得到外力F的大�。�
（2）由運動學(xué)公式求出t₀時刻金屬棒ab的速率和位移，根據(jù)動能定理求出回路中產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）由右手定則判斷ab棒中感應(yīng)電流方向，由左手定則判斷cd棒所受的安培力方向．分析cd棒的運動情況：cd棒先做加速度逐漸減小的加速運動，當(dāng)cd棒所受的重力沿斜面向下的分力與滑動摩擦力相等時，速度達到最大；然后做加速度逐漸增大的減速運動，最后停止運動．
cd棒達到最大速度時重力沿斜面向下的分力與摩擦力平衡，根據(jù)cd所受的摩擦力大小變化情況作圖．

解答 解：（1）經(jīng)過時間t₀時，金屬棒ab的速率 v=at₀
此時，回路中的感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL{v}_{0}}{R}$
對金屬棒ab，由牛頓第二定律得F-BIL-m₁gsinα=m₁a
由以上各式整理得：F=m₁a+m₁gsinα+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$
（2）時間t₀內(nèi)棒所發(fā)生的位移 s=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
由動能定律得：W-m₁gs sinα-W_安=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$
又Q=W_安
聯(lián)立以上方程，解得焦耳熱 Q=W-$\frac{1}{2}$m₁gat₀² sinα-$\frac{1}{2}{m}_{1}{a}^{2}{t}_{0}^{2}$
（3）由右手定則知在運動過程中ab棒中的電流方向由a→b，由左手定則舌cd棒受到的安培力方向垂直于斜面向下．
cd棒先做加速度逐漸減小的加速運動，當(dāng)cd棒的重力沿斜面向下的分力與滑動摩擦力大小相等時，速度達到最大；后做加速度逐漸增大的減速運動，最后停止運動．
當(dāng)cd棒速度達到最大時，有f_cd=μF_N
又F_N=F_安+m₂gcosα
F_安=BIL，I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLat}{R}$
則 f_cd=μ（$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R}$+m₂gcosα）
最終靜止時，f_cd=μm₂gcosα．
摩擦力f_cd隨時間變化的圖象如圖所示．
答：
（1）t₀時刻作用在金屬棒ab上的外力F的大小是m₁a+m₁gsinα+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$；
（2）從靜止開始到t₀時刻外力F做功為W，回路在這一過程中產(chǎn)生的焦耳熱是W-$\frac{1}{2}$m₁gat₀² sinα-$\frac{1}{2}{m}_{1}{a}^{2}{t}_{0}^{2}$；
（3）cd棒先做加速度逐漸減小的加速運動，當(dāng)cd棒的重力沿斜面向下的分力與滑動摩擦力大小相等時，速度達到最大；后做加速度逐漸增大的減速運動，最后停止運動．定性畫出cd棒所受摩擦力f_cd隨時間變化的圖象如圖所示．

點評 本題中cd棒先受到滑動摩擦，后受到靜摩擦，發(fā)生了突變，要仔細耐心分析這個動態(tài)變化過程．要知道滑動摩擦力與安培力有關(guān)，呈現(xiàn)線性增大．