Question

11．相距L的足夠長(zhǎng)金屬導(dǎo)軌與水平方向成α角傾斜放置，長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的質(zhì)量為m₁的金屬棒ab和質(zhì)量為m₂的金屬棒cd通過(guò)固定在棒兩端的金屬輕滑環(huán)套在導(dǎo)軌上，如圖甲所示，虛線oo₁上方磁場(chǎng)方向垂直于斜面向上，虛線下方磁場(chǎng)方向平行于斜面向上，兩處勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．a(chǎn)b兩端的滑環(huán)是光滑的，cd兩端的滑環(huán)與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ（μ＜tanα），兩金屬棒在導(dǎo)軌間的總電阻為R，導(dǎo)軌和滑環(huán)的電阻不計(jì)．金屬棒ab在沿斜面向上的外力F作用下，從靜止開始沿導(dǎo)軌向上做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．金屬棒ab開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，金屬棒cd也由靜止釋放．以金屬棒ab開始運(yùn)動(dòng)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)．重力加速度為g．
（1）求t₀時(shí)刻作用在金屬棒ab上的外力F的大�。�
（2）從靜止開始到t₀時(shí)刻外力F做功為W，求回路在這一過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）簡(jiǎn)述金屬棒cd釋放后將做怎樣的運(yùn)動(dòng)，并在圖乙中定性畫出金屬棒cd所受摩擦力f_cd隨時(shí)間變化的圖象．

Answer 1

分析 （1）ab棒在外力F作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所受的合外力一定．由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL、v=at，及牛頓第二定律得到外力F的大小．
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出t₀時(shí)刻金屬棒ab的速率和位移，根據(jù)動(dòng)能定理求出回路中產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）由右手定則判斷ab棒中感應(yīng)電流方向，由左手定則判斷cd棒所受的安培力方向．分析cd棒的運(yùn)動(dòng)情況：cd棒先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)cd棒所受的重力沿斜面向下的分力與滑動(dòng)摩擦力相等時(shí)，速度達(dá)到最大；然后做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，最后停止運(yùn)動(dòng)．
cd棒達(dá)到最大速度時(shí)重力沿斜面向下的分力與摩擦力平衡，根據(jù)cd所受的摩擦力大小變化情況作圖．

解答 解：（1）經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀時(shí)，金屬棒ab的速率 v=at₀
此時(shí)，回路中的感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL{v}_{0}}{R}$
對(duì)金屬棒ab，由牛頓第二定律得F-BIL-m₁gsinα=m₁a
由以上各式整理得：F=m₁a+m₁gsinα+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$
（2）時(shí)間t₀內(nèi)棒所發(fā)生的位移 s=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
由動(dòng)能定律得：W-m₁gs sinα-W_安=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$
又Q=W_安
聯(lián)立以上方程，解得焦耳熱 Q=W-$\frac{1}{2}$m₁gat₀² sinα-$\frac{1}{2}{m}_{1}{a}^{2}{t}_{0}^{2}$
（3）由右手定則知在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中ab棒中的電流方向由a→b，由左手定則舌cd棒受到的安培力方向垂直于斜面向下．
cd棒先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)cd棒的重力沿斜面向下的分力與滑動(dòng)摩擦力大小相等時(shí)，速度達(dá)到最大；后做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，最后停止運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)cd棒速度達(dá)到最大時(shí)，有f_cd=μF_N
又F_N=F_安+m₂gcosα
F_安=BIL，I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLat}{R}$
則 f_cd=μ（$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R}$+m₂gcosα）
最終靜止時(shí)，f_cd=μm₂gcosα．
摩擦力f_cd隨時(shí)間變化的圖象如圖所示．
答：
（1）t₀時(shí)刻作用在金屬棒ab上的外力F的大小是m₁a+m₁gsinα+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R}$；
（2）從靜止開始到t₀時(shí)刻外力F做功為W，回路在這一過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱是W-$\frac{1}{2}$m₁gat₀² sinα-$\frac{1}{2}{m}_{1}{a}^{2}{t}_{0}^{2}$；
（3）cd棒先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)cd棒的重力沿斜面向下的分力與滑動(dòng)摩擦力大小相等時(shí)，速度達(dá)到最大；后做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動(dòng)，最后停止運(yùn)動(dòng)．定性畫出cd棒所受摩擦力f_cd隨時(shí)間變化的圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題中cd棒先受到滑動(dòng)摩擦，后受到靜摩擦，發(fā)生了突變，要仔細(xì)耐心分析這個(gè)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程．要知道滑動(dòng)摩擦力與安培力有關(guān)，呈現(xiàn)線性增大．