Question

如圖所示，半圓玻璃磚的半徑R=10cm，折射率為n=

3

，直徑AB與屏幕MN垂直并接觸于A點，一在真空中波長為λ₀的激光a，以入射角i=30°射向半圓玻璃磚的圓心O，結(jié)果在水平屏幕MN上出現(xiàn)兩個光斑．（已知光在真空中速度為c）求：
（1）激光a在玻璃磚中的頻率、波長；
（2）屏幕MN上兩個光斑之間距離L；
（3）保持玻璃磚不動，增大入射角i，MN上會只剩下一個光斑．求剛好只剩下一個光斑時，該光斑距A點的距離．

Answer 1

分析：（1）激光a在玻璃磚中的頻率等于它在真空中的頻率，由公式c=λ₀求出．激光a在玻璃磚中的波長由波速公式v=λf和v=

c

n

結(jié)合求解．
（2）光線在AB面上發(fā)生反射和折射，在水平屏幕MN上出現(xiàn)兩個光斑，根據(jù)折射定律結(jié)合幾何關(guān)系求出兩個光斑之間的距離．
（3）保持玻璃磚不動，增大入射角i，MN上會只剩下一個光斑時，說明光線在AB面上發(fā)生了全反射，此時入射角恰好等于臨界角，根據(jù)臨界角公式和幾何關(guān)系結(jié)合求解．

解答：解：（1）激光a在玻璃磚中的頻率為：f=

c

λ0

，波長：λ=

v

f

=

c n

f

=

λ0

n

  
（2）設(shè)全反射臨界角為C，則有：
sinC=

1

n

=

1

3

=0.57
因為i=30°＜C，
所以光線在AB面上不發(fā)生全反射，即既有反射又有折射．作出光路圖如圖所示．
根據(jù)折射定律得；：

sini

sinr

=

1

n

，
得，sinr=nsini=

3

×sin30°=

3

2

，r=60° 
由幾何知識得，△OPQ為直角三角形，所以兩個光斑PQ之間的距離：
L=

.

PQ

=

.

AP

+

.

AQ

=Rtan60°+R?tan30°=

3

R+

3

3

R=

4 3

3

×10cm=

40 3

3

cm
（3）保持玻璃磚不動，增大入射角i，MN上會只剩下一個光斑時，說明光線在AB面上發(fā)生了全反射，此時入射角恰好等于臨界角，即i=C．
因sinC=

1

n

=

3

3

，
則得：tanC=

sinC

cosC

=

sinC

1-sin2C

=

3 3

1-( 3 3 )2

=

2

2

所以光斑H距A點距離為：

.

AH

=

R

tanC

=

10

2 2

=10

2

cm
答：（1）激光a在玻璃磚中的頻率、波長分別為

c

λ0

和

λ0

n

；
（2）屏幕MN上兩個光斑之間距離L是

40 3

3

cm；
（3）剛好只剩下一個光斑時，該光斑距A點的距離是10

2

cm．

點評：光從一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)時保持不變的量是頻率．此題通過考查了折射定律和反射定律的基本運用，難度不大，對數(shù)學(xué)幾何的能力要求較高，需加強訓(xùn)練．