Question

如圖甲所示，x方向足夠長(zhǎng)的兩個(gè)條形區(qū)域，其y方向的寬度分別為l₁ = 0.1m和l₂ = 0.2m，兩區(qū)域分別分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁和B₂的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方與xy平面垂直向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂ = 0.1T，B₁隨時(shí)間變化的圖象如圖乙所示�，F(xiàn)有大量粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以恒定速度 v = 2×10⁶ m/s不斷沿y軸正方向射入磁場(chǎng)，已知帶電粒子的電量q = -2×10^-8C，質(zhì)量m = 4×10^-16 kg, 不考慮磁場(chǎng)變化產(chǎn)生的電場(chǎng)及帶電粒子的重力。求：

（1）在圖乙中0～1s內(nèi)，哪段時(shí)間從O發(fā)射的粒子能進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的磁場(chǎng)？

（2）帶電粒子打在磁場(chǎng)上邊界MN上的x坐標(biāo)范圍是多少？

（3）在MN以下整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，單個(gè)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間分別是多少？

Answer 1

（1）粒子在B₁磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間極短，可視這極短時(shí)間內(nèi)的磁場(chǎng)為恒定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電粒子在該磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，有

，當(dāng)r＝l₁時(shí)， ，代入數(shù)據(jù)得

    B₁ = 0.4 T。    ……①        （2分）

由右圖可知，當(dāng)B₁＝0.4T時(shí)，

t＝t′＝0.8s    ……②        （2分） 

因此，0～0.8s時(shí)間內(nèi)B₁的值小于0.4T，粒子運(yùn)動(dòng)半徑大于l₁，這段時(shí)間從O發(fā)射的粒子將進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的區(qū)域。

（2）設(shè)粒子在B₂磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r₂，當(dāng)B₁=0時(shí)，粒子打在MN上的A₁點(diǎn)為最左邊的點(diǎn)。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得

    ，

代入數(shù)據(jù)解得 

如右圖幾何關(guān)系可知 

A₁點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

x₁ = r₂ –r₂ cosθ₁＝ m    ……③   （3分）

   下圖中，若A₂為最右邊點(diǎn)，則A₂為軌跡與邊界MN的切點(diǎn)。過C₁點(diǎn)作速度方向的垂線，O₁為帶電粒子在磁場(chǎng)B₁中運(yùn)動(dòng)的圓心，O₂為在磁場(chǎng)B₂中運(yùn)動(dòng)的圓心。由幾何知識(shí)可得

，即 θ₂＝30°，

由此可得A₂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₂為

          

由幾何知識(shí)可知此時(shí)

解得             ……④      （3分）

（3）粒子軌跡與MN相切時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡最長(zhǎng)，時(shí)間也最長(zhǎng)。由于粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且軌跡左右對(duì)稱，則粒子在磁場(chǎng)B₁中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

                     ……⑤      （1分）    

   粒子在磁場(chǎng)B₂中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

             ×10^－7 s     ……⑥    （1分） 

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為

                        ……⑦    （2分）

     隨著磁場(chǎng)B₁逐漸增大，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間先增大后減小，當(dāng)B₁達(dá)到最大值時(shí)，運(yùn)動(dòng)半徑為

               

此時(shí)帶電粒子在B₁磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

                          ……⑧    （2分）

若B₁=0時(shí)，帶電粒子在B₁、B₂磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

                

所以帶電粒子在磁場(chǎng)中的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

t₁′＝1.26×10^－7 s           ……⑨     （2分）