Question

4．如圖所示，在x軸上方有一豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E=60V/m．x軸下方分布有多個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=1T的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，其寬度均為d₁=3cm，相鄰兩磁場(chǎng)區(qū)域的間距為d₂=4cm．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=6×10^-13kg，電荷量為q=1×10^-8C的帶正電粒子（不計(jì)重力）．
（1）將帶電粒子從y軸上坐標(biāo)為y₁處以平行于x軸的某一初速度射入電場(chǎng)區(qū)域，帶電粒子運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)x軸上坐標(biāo)值為x₁的Q點(diǎn)時(shí)，速度方向與x軸正方向的夾角為60°，且剛好不會(huì)穿出第一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，求y₁和x₁．
（2）若粒子從y軸上坐標(biāo)為（0，50cm）的點(diǎn)處由靜止釋放，求自釋放到粒子第二次過(guò)x軸的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子剛好不會(huì)穿出第一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系找到圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，求出圓周運(yùn)動(dòng)的速度即為類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的末速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解求出水平分速度和豎直分速度，由速度公式和位移公式即可求出y₁和x₁；
（2）粒子由靜止釋放，先在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑和圓心角，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式和勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間公式，即可求出運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答 解：（1）剛好不會(huì)穿出第一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，

    由幾何關(guān)系：R（1-cos60°）=d₁
    解得：R=2d₁=6cm，
    帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
    解得：v=1×10³m/s
    帶電粒子經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)沿y軸方向的分速度：${v}_{y}=vsin60°=5\sqrt{3}×1{0}^{2}m/s$
     由$a=\frac{Eq}{m}$
     ${v}_{y}^{2}=2a{y}_{1}$
    聯(lián)立解得：y₁=0.375m=37.5cm
    帶電粒子經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)沿x軸方向的分速度：${v}_{x}=vcos60°=5×1{0}^{2}m/s$
    由${y}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$解得$t=5\sqrt{3}×1{0}^{-4}$s
    ${x}_{1}={v}_{x}t=5×1{0}^{2}×5\sqrt{3}×1{0}^{-4}m=25\sqrt{3}cm$
    （2）當(dāng)帶電粒子從y₂=50cm的位置由靜止釋放后，先在電場(chǎng)中加速，加速時(shí)間t₁滿(mǎn)足${y}_{2}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，
     解得：${t}_{1}=1×1{0}^{-3}s$
     設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v₂，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R₂，
     由動(dòng)能定理有：$qE{y}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
     解得：v₂=1×10³m/s；
    
    由$q{v}_{2}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$，解得R₂=6cm，
    根據(jù)帶電粒子在空間運(yùn)動(dòng)的軌跡可知，它最低能進(jìn)入第二個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，
    帶電粒子經(jīng)過(guò)第一個(gè)無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)運(yùn)動(dòng)方向與x軸的夾角θ滿(mǎn)足：$cosθ=\frac{eamw2oo_{1}}{{R}_{2}}=0.5$ 
    解得：θ=60° 
    利用幾何關(guān)系可知，帶電粒子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為半個(gè)圓周的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
    ${t}_{2}=\frac{1}{2}T=\frac{1}{2}•\frac{2π{R}_{2}}{{v}_{2}}=6π×1{0}^{-5}s$
    帶電粒子在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的路程為：$s=\frac{2iswouis_{2}}{sinθ}=\frac{4\sqrt{3}}{75}m$
    運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{3}=\frac{s}{{v}_{2}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}×1{0}^{-5}s$
    帶電粒子自釋放到第二次過(guò)x軸的時(shí)間：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=1.28×1{0}^{-3}$s
    
答：（1）y軸上坐標(biāo)為y₁=37.5cm，x軸上坐標(biāo)值為${x}_{1}=25\sqrt{3}cm$．
      （2）粒子自釋放到第二次過(guò)x軸的時(shí)間為1.28×10^-3s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，意在考查學(xué)生靈活運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解和合成、動(dòng)能定理、牛頓運(yùn)動(dòng)定律及其相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．運(yùn)動(dòng)過(guò)程較多，綜合性較強(qiáng)，對(duì)作圖能力要求較高，準(zhǔn)確畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，并通過(guò)運(yùn)動(dòng)軌跡找?guī)缀侮P(guān)系，是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．