Question

磁懸浮列車(chē)是一種高速運(yùn)載工具．它具有兩個(gè)重要系統(tǒng)：一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力使車(chē)體在導(dǎo)軌上懸浮起來(lái)；另一是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，在沿軌道上安裝的三相繞組中，通上三相交流電，產(chǎn)生隨時(shí)間和空間做周期性變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)與固連在車(chē)體下端的感應(yīng)金屬板相互作用，使車(chē)體獲得牽引力．
設(shè)圖中xOy平面代表軌道平面，x軸與軌道平行，現(xiàn)有一與軌道平面垂直的磁場(chǎng)正以速度v向-x方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)在t=0時(shí)，該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小隨空間位置x的變化規(guī)律為B=B₀coskx（式中B₀、k為已知常量），且在y軸處，該磁場(chǎng)垂直xOy平面指向紙里．與軌道平面平行的一金屬矩形框MNPQ處在該磁場(chǎng)中，已知該金屬框的MN邊與軌道垂直，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，固定在y軸上，MQ邊與軌道平行，長(zhǎng)度為d=

π

k

，金屬框的電阻為R，忽略金屬框的電感的影響．求：
（1）t=0時(shí)刻，金屬框中的感應(yīng)電流大小和方向；
（2）金屬框中感應(yīng)電流瞬時(shí)值的表達(dá)式；
（3）經(jīng)過(guò)t=

10π

kv

時(shí)間，金屬框產(chǎn)生的熱量；
（4）畫(huà)出金屬框受安培力F隨時(shí)間變化的圖象．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切割感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與閉合電路歐姆定律，即可確定感應(yīng)電流的大小，再由右手定則可確定感應(yīng)電流的方向；
（2）根據(jù)閉合電路歐姆定律，與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（3）根據(jù)焦耳定律，即可求解；
（4）根據(jù)安培力的表達(dá)式，結(jié)合前面的結(jié)論，從而可根據(jù)關(guān)系式，作出圖象．

解答：解：（1）磁場(chǎng)向-x方向運(yùn)動(dòng)，等效金屬框向x方向運(yùn)動(dòng)．
t=0時(shí)刻，金屬框產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)e=2B₀Lv 
由閉合電路歐姆定律，則有 i=

e

R

=

2B0Lv

R

電流的方向根據(jù)右手定則可知為M→N→P→Q→M
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，金屬框MN所在處磁場(chǎng)強(qiáng)度為B，i=

2BLv

R

=

2B0Lv

R

cos(kx)
又x=vt，得到電流瞬時(shí)值的表達(dá)式是：i=

2B0Lv

R

cos(kvt)，是正弦式電流．
（3）根據(jù)焦耳定律，則有Q=(

Im

2

)2Rt=

20π B 2 0 L2v

kR

（4）金屬框受安培力的方向始終向左．設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，
金屬框受到安培力為F安=2BiL=

4B2L2v

R

=

4 B 2 0 L2v

R

cos2(kvt)=

2 B 2 0 L2v

R

[cos(2kvt)+1]
由此可知：金屬框受到安培力F隨時(shí)間變化的圖象如右圖：
答：（1）t=0時(shí)刻，金屬框中的感應(yīng)電流大小

2B0Lv

R

和方向?yàn)镸→N→P→Q→M；
（2）金屬框中感應(yīng)電流瞬時(shí)值的表達(dá)式：i=

2B0Lv

R

cos(kvt)；
（3）經(jīng)過(guò)t=

10π

kv

時(shí)間，金屬框產(chǎn)生的熱量

20π B 2 0 L2v

kR

；
（4）畫(huà)出金屬框受安培力F隨時(shí)間變化的圖象如上圖所示．

點(diǎn)評(píng)：考查法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律與焦耳定律，掌握右手定則，注意與左手定則的區(qū)別，同時(shí)由電流的有效值來(lái)確定熱量的多少，最后掌握安培力的表達(dá)式，突出電流變化的關(guān)系式．