Question

如圖所示，高為h的絕緣板靜止在光滑水平面上，放置在其右端的小物塊帶電量為+q，絕緣板和小物塊的質(zhì)量均為m，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．現(xiàn)對(duì)絕緣板施加一個(gè)水平向右、大小為μmg的恒力．當(dāng)絕緣板即將離開磁場(chǎng)時(shí)，小物塊恰好到達(dá)它的最左端，且對(duì)絕緣板無壓力，此時(shí)絕緣板的速度是小物塊速度的2倍．設(shè)滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力．求：
（1）小物塊離開絕緣板時(shí)的速率；
（2）小物塊落地時(shí)與絕緣板間的距離；
（3）運(yùn)動(dòng)過程中滑動(dòng)摩擦力對(duì)小物塊所做的功．

Answer 1

分析：（1）由題，小物塊恰好到達(dá)它的最左端，對(duì)絕緣板無壓力，物塊所受的洛倫茲力與重力大小相等，根據(jù)平衡條件求解小物塊離開絕緣板時(shí)的速率；
（2）小物塊離開絕緣板后做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解小物塊平拋運(yùn)動(dòng)通過的水平距離．此過程中，絕緣板做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出絕緣板通過的位移大小，即可根據(jù)幾何關(guān)系求得小物塊落地時(shí)與絕緣板間的距離；
（3）絕緣板和小物塊先相對(duì)靜止，一起做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者之間的靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，開始相對(duì)滑動(dòng)．先根據(jù)牛頓第二定律求得小物塊所受的靜摩擦力，再求出當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)小物塊的速度，再運(yùn)用動(dòng)能定理求解滑動(dòng)摩擦力對(duì)小物塊所做的功．

解答：解：（1）據(jù)題，小物塊恰好到達(dá)它的最左端，對(duì)絕緣板無壓力，則得：
  mg=qvB，得小物塊離開絕緣板時(shí)的速率 v=

mg

qB

．
（2）小物塊離開絕緣板后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
  豎直方向：h=

1

2

gt2，得 t=

2h g

  水平方向：x₁=vt=

mg

qB

?

2h g

=

m

qB

2gh

．
絕緣板勻加速運(yùn)動(dòng)的初速度為 v₀=2v=

2mg

qB

，加速度為 a=

μmg

m

=μg
位移為 x₂=v₀t+

1

2

at2=

2mg

qB

?

2h g

+

1

2

μg(

2h g

)2=

2m

qB

2gh

+μh
故小物塊落地時(shí)與絕緣板間的距離為△x=x₂-x₁=

m

qB

2gh

+μh．
（3）設(shè)兩個(gè)物體一起勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為a′．
根據(jù)牛頓第二定律得：
對(duì)整體有：a′=

μmg

2m

=

1

2

μg
小物塊所受的靜摩擦力大小為 f=ma′=

1

2

μmg
兩個(gè)物體間的最大靜摩擦力為 f_m=μ（mg-qv′B）
當(dāng)f=f_m時(shí)，小物塊相對(duì)于絕緣板剛開始滑動(dòng)，此時(shí)小物塊的速度大小為 v′，則由f=f_m解得，v′=

mg

2qB

小物塊相對(duì)于絕緣板滑動(dòng)時(shí)，所受的滑動(dòng)摩擦力是變力，根據(jù)動(dòng)能定理得：
  滑動(dòng)摩擦力對(duì)小物塊所做的功 W=

1

2

mv2-

1

2

mv′2=

3m3g2

8q2B2

．
答：（1）小物塊離開絕緣板時(shí)的速率為

mg

qB

；（2）小物塊落地時(shí)與絕緣板間的距離為

m

qB

2gh

+μh；（3）運(yùn)動(dòng)過程中滑動(dòng)摩擦力對(duì)小物塊所做的功為

3m3g2

8q2B2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，分析物體的受力情況，判斷運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)力學(xué)的基本規(guī)律進(jìn)行處理．