Question

一宇航員到達(dá)半徑為R，密度均勻的某星球表面，做如下實(shí)驗(yàn)，用不可伸長的輕繩拴一質(zhì)量為m的小球，上端固定在O點(diǎn)，如圖甲所示，在最低點(diǎn)給小球某一初速度，使其繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得繩的拉力大小隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示，F(xiàn)₁=7F₂，設(shè)R、m、引力常量G、F₁、F₂均為己知量，忽略各種阻力，以下說法正確的是（　　）

• A．小球在最高點(diǎn)的最小速度為零
• B．衛(wèi)星繞該星的最小運(yùn)行速度為

  Gm R

• C．該星球表面的重力加速度為

  F1

  7m

• D．星球的質(zhì)量為

  F2R2

  7Gm

Answer 1

分析：抓住圓周運(yùn)動(dòng)的臨界情況，確定小球在最高達(dá)的最小速度．根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合機(jī)械能守恒定律求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力等于重力求出星球的質(zhì)量．

解答：解：A、小球在最高點(diǎn)的最小速度不能為零，臨界情況是拉力為零，重力提供向心力．故A錯(cuò)誤．
B、根據(jù)萬有引力提供向心力得：G

Mm

r2

=m

v2

r

，v=

GM r

，速度的大小與m無關(guān)．故B錯(cuò)誤．
C、設(shè)砝碼在最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力為F₁，速度為v₁，則
F₁-mg=m

v12

r

設(shè)砝碼在最高點(diǎn)細(xì)線的拉力為F₂，速度為v₂，則
F₂+mg=m

v22

r

由機(jī)械能守恒定律得 mg2r+

1

2

mv22=

1

2

mv12
聯(lián)立解得g=

F1-F2

6m

F₁=7F₂，
所以該星球表面的重力加速度為

F1

7m

．故C正確．
D、星球表面的重力加速度為

F1

7m

．根據(jù)GM=gR²，則M=

gR2

G

=

F1R2

7Gm

．故D錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力兩個(gè)理論，并與圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合，綜合運(yùn)用了牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是道好題．