Question

2．一電阻為R的金屬圓環(huán)，放在勻強磁場中，磁場與圓環(huán)所在平面垂直，如圖（a）所示．已知通過圓環(huán)的磁通量隨時間t的變化關系如圖（b）所示，圖中的最大磁通量φ₀和變化周期T都是已知量，求：
（1）在t=0到t=$\frac{T}{4}$的時間內，通過金屬圓環(huán)某橫截面的電荷量q．
（2）在t=0到t=T的時間內，金屬環(huán)內電流的變化規(guī)律．
（3）在t=0到t=T的時間內，金屬環(huán)內所產生的電熱Q．

Answer 1

分析 線圈平面垂直處于勻強磁場中，當磁感應強度隨著時間均勻變化時，線圈中的磁通量發(fā)生變化，從而導致出現感應電動勢，產生感應電流．由楞次定律可確定感應電流方向，由法拉第電磁感應定律可求出感應電動勢大�。�而產生的電量由q=It，求解，而產生的熱量則是由焦耳定律求出．

解答 解：（1）在t=0到t=$\frac{T}{4}$ 的時間內，由法拉第電磁感應定律公式E=N$\frac{△∅}{△t}$，得：
E=$\frac{{∅}_{0}-0}{\frac{T}{4}}$=$\frac{4{∅}_{0}}{T}$
由閉合電路毆姆定律得：
I=$\frac{E}{R}$=$\frac{4{∅}_{0}}{RT}$
由電量由q=It=$\frac{4{∅}_{0}}{RT}$×$\frac{T}{4}$=$\frac{{∅}_{0}}{R}$；
（2）在t=0到t=T的時間內，從$\frac{T}{4}$到$\frac{T}{2}$、$\frac{3T}{4}$到T，由于磁通量不變，無感應電流；
從$\frac{T}{2}$到$\frac{3T}{4}$，磁感應強度的變化率絕對值相等，故關于電流等大、反向，為I′=$\frac{4{∅}_{0}}{RT}$；
作出t=0到t=T的時間內金屬圓環(huán)中電流與時間的關系圖線，如圖所示：

（3）在t=0到t=T的時間內，從$\frac{T}{4}$到$\frac{T}{2}$、$\frac{3T}{4}$到T，由于磁通量不變，所以金屬環(huán)不發(fā)熱．
而從0到$\frac{T}{4}$金屬環(huán)產生的熱量與從$\frac{T}{2}$到$\frac{3T}{4}$ 金屬環(huán)產生的熱量是相等的．
則有Q₁=I²R$\frac{T}{4}$=$\frac{4{∅}_{0}^{2}}{RT}$
所以Q=2Q₁=$\frac{8{∅}_{0}^{2}}{RT}$；
答：（1）在t=0到t=$\frac{T}{4}$的時間內，通過金屬圓環(huán)的電流大小為$\frac{{∅}_{0}}{R}$；
（2）t=0到t=T的時間內金屬圓環(huán)中電流與時間的關系圖線如上圖所示；
（3）在t=0到t=T的時間內，金屬環(huán)所產生的電熱Q為$\frac{8{∅}_{0}^{2}}{RT}$．

點評 本題考查楞次定律來判定感應電流方向，由法拉第電磁感應定律來求出感應電動勢大小．當然本題還可求出電路的電流大小，及電阻消耗的功率．同時磁通量變化的線圈相當于電源．注意在磁通量不變時，金屬環(huán)沒有電流，則無熱量．