Question

18．我國(guó)探月工程已規(guī)劃至“嫦娥四號(hào)”，并計(jì)劃在2017年將嫦娥四號(hào)探月衛(wèi)星發(fā)射升空．到時(shí)將實(shí)現(xiàn)在月球上自動(dòng)巡視機(jī)器人勘測(cè)．已知萬(wàn)有引力常量為G，月球表面的重力加速度為g，月球的平均密度為ρ，月球可視為球體．求：
（1）月球質(zhì)量M；
（2）嫦娥四號(hào)探月衛(wèi)星在近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的環(huán)繞速度v．

Answer 1

分析 月球表面的重力與萬(wàn)有引力相等，由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$求得質(zhì)量，繞月球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供求得線速度，據(jù)此列式計(jì)算

解答 解：（1）設(shè)：月球半徑為R，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$…①
月球的質(zhì)量為：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$…②
由①②得：M=$\frac{9{g}^{3}}{16{π}^{2}{ρ}^{2}{G}^{3}}$…③
（2）萬(wàn)有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$…④
由①②得：R=$\frac{3g}{4πρG}$…⑤
由④⑤得：v=$\sqrt{\frac{3{g}^{2}}{4πρG}}$…⑥
答：（1）月球質(zhì)量M為$\frac{9{g}^{3}}{16{π}^{2}{ρ}^{2}{G}^{3}}$；
（2）嫦娥四號(hào)探月衛(wèi)星在近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的環(huán)繞速度v為$\sqrt{\frac{3{g}^{2}}{4πρG}}$．

點(diǎn)評(píng) 月球表面的重力與萬(wàn)有引力相等，衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，這個(gè)是萬(wàn)有引力問(wèn)題經(jīng)常用的表達(dá)式