Question

5．兩顆行星各有一顆衛(wèi)星繞其表面運行，已知兩衛(wèi)星的周期之比為1：2，兩行星的半徑之比為2：1，則下列結論正確的是（　�。�

• A． 兩行星的質量之比為16：1
• B． 兩行星的密度之比為1：4
• C． 兩行星表面處重力加速度之比為8：1
• D． 兩衛(wèi)星的速率之比為4：1

Answer 1

分析 根據萬有 引力提供向心力得出中心天體質量，結合周期之比和行星的半徑之比求出兩行星的質量之比，從而得出密度之比．根據萬有引力等于重力求出重力加速度的表達式，從而得出重力加速度之比．根據兩衛(wèi)星的周期之比求出速率之比．

解答 解：A、根據$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，行星的質量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，因為行星半徑之比為2：1，周期之比為1：2，則兩行星的質量之比為32：1，故A錯誤．
B、行星的密度$ρ=\frac{M}{\frac{4π{r}^{3}}{3}}$，因為質量之比為32：1，半徑之比為2：1，則兩行星的密度之比為4：1，故B錯誤．
C、根據$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mg$得，g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，因為行星的質量之比為32；1，半徑之比為2：1，則兩行星表面的重力加速度之比為8：1，故C正確．
D、衛(wèi)星的速率v=$\frac{2πr}{T}$，半徑之比為2：1，周期之比為1：2，則速率之比為4：1，故D正確．
故選：CD．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．