Question

6．如圖所示，光滑斜軌和光滑圓軌相連，固定在同一豎直面內(nèi)，圓軌的半徑為R，一個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），從離水平面高h(yuǎn)處由靜止自由下滑，由斜軌進(jìn)入圓軌，求：
（1）為了使小球在圓軌內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過程中始終不脫離圓軌，h應(yīng)至少多高？
（2）若小球到達(dá)圓規(guī)最高點(diǎn)時(shí)圓軌對(duì)小球的壓力大小恰好等于它自身重力大小，那么小球開始下滑時(shí)的h是多大？
（3）若該軌道改為環(huán)形管道，為了使小球在軌道內(nèi)完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)，h應(yīng)至少多高？

Answer 1

分析 （1）由豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件可求得最高點(diǎn)的速度；再由動(dòng)能定理可求得h的高度；
（2）最高點(diǎn)處對(duì)小球受力分析，由向心力公式可求得小球的速度；再由動(dòng)能定理即可求得高度．
（3）軌道改為環(huán)形管道時(shí)，小球在圓管的最高點(diǎn)速度可以為零，利用機(jī)械能守恒分析即可．

解答 解：（1）小球剛好不脫離圓軌，在最高點(diǎn)重力恰好通過向心力，由牛頓第二定律得：$mg=m\frac{v^2}{R}$①
小球由斜軌至圓軌最高點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v^2}$②
聯(lián)立①②解得：$h=\frac{5}{2}R$
故$h≥\frac{5}{2}R$時(shí)小球在圓軌內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過程中始終不脫離圓軌，高度至少為$\frac{5}{2}R$．
（2）在最高點(diǎn)對(duì)小球由牛頓第二定律得：F_N+mg=$m\frac{v^2}{R}$③
又有：F_N=mg④
小球由斜軌至圓軌最高點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v^2}$⑤
聯(lián)立③④⑤解得：h=3R；
（3）在環(huán)形管道的內(nèi)部，小球在最高點(diǎn)的速度可以為零，根據(jù)機(jī)械能守恒可得，mgh=mg2R，所以h=2R，
h應(yīng)至少高為2R．
答：（1）h應(yīng)至少為2.5R；（2）球開始下滑時(shí)的h是3R；（3）h應(yīng)至少高為2R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理及向心力公式的應(yīng)用，要注意明確豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，恰好經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)重力恰好全部充當(dāng)向心力．