Question

12．如圖所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M=0.6kg的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m=0.3kg的物體，M的中點(diǎn)與圓孔距離為0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N．現(xiàn)使此平面繞中心軸線方向轉(zhuǎn)動(dòng)，若g=10m/s²且m始終處于靜止?fàn)顟B(tài)．求：
（1）若物體M恰好不受靜摩擦力作用，則平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₀為多少？
（2）平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω在什么范圍內(nèi)，物體M才不會(huì)滑動(dòng)？

Answer 1

分析 （1）物體M不受摩擦力時(shí)，M做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力等于m的重力，由此結(jié)合牛頓第二定律解答即可；
（2）當(dāng)M所受的最大靜摩擦力沿半徑方向向外時(shí)，角速度最小，當(dāng)M所受的最大靜摩擦力沿半徑向內(nèi)時(shí)，角速度最大，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的范圍．

解答 解：（1）物體M不受摩擦力時(shí)，M做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力等于m的重力，得：
mg=Mω₀²r
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{mg}{Mr}}=\sqrt{\frac{0.3×10}{0.6×0.2}}=5rad/s$，
（2）當(dāng)ω具有最小值時(shí)，M有向圓心運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，故水平面對(duì)M的靜摩擦力方向和指向圓心方向相反，且等于最大靜摩擦力2N．根據(jù)牛頓第二定律隔離M有：
T-f_m=Mω₁²r
代入數(shù)據(jù)解得：ω₁=$\sqrt{10}$rad/s
當(dāng)ω具有最大值時(shí)，M有離開圓心趨勢(shì)，水平面對(duì)M摩擦力方向指向圓心，大小也為2N．再隔離M有：
T+f_m=Mω₂²r
代入數(shù)據(jù)解得：ω=$5\sqrt{2}$rad/s，
則平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω在$\sqrt{10}$rad/s≤ω≤$5\sqrt{2}$rad/s范圍內(nèi)，物體M才不會(huì)滑動(dòng)．
答：（1）若物體M恰好不受靜摩擦力作用，則平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₀為5rad/s；
（2）平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω在$\sqrt{10}$rad/s≤ω≤$5\sqrt{2}$rad/s范圍內(nèi)，物體M才不會(huì)滑動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，抓住臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．