Question

2．火星的半徑約為地球半徑的一半，火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的$\frac{1}{6}$，在地球上周期都為T₀的單擺和彈簧振子，如果放到火星上去，則單擺的周期為多大？彈簧振子的周期又為多大？

Answer 1

分析 根據(jù)星球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$，根據(jù)火星球半徑是地球半徑的一半，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{6}$，可計算出火星和地球的表面重力加速度之比，又根據(jù)單擺周期公式$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$，可計算該單擺在火星和地球上的周期之比．

解答 解：根據(jù)星球表面的物體受到的重力等于萬有引力有：$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
得：$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$
所以$\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}=\frac{{M}_{火}}{{M}_{地}}×{（\frac{{R}_{地}}{{R}_{火}}）}^{2}=\frac{1}{6}×{2}^{2}=\frac{2}{3}$
根據(jù)單擺周期公式有：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$，
得：$\frac{{T}_{火}}{{T}_{地}}=\sqrt{\frac{{g}_{地}}{{g}_{火}}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
所以有：${T}_{火}=\frac{\sqrt{6}}{2}{T}_{0}$
彈簧振子的周期：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{m}{k}}$與彈簧的勁度系數(shù)以及彈簧振子的質(zhì)量有關(guān)，與重力加速度無關(guān)，所以如果放到火星上去彈簧振子的周期不變，仍然是T₀．
答：如果放到火星上去，則單擺的周期為$\frac{\sqrt{6}}{2}{T}_{0}$．彈簧振子的周期不變，仍然是T₀．

點評 本題考查單擺周期公式，由周期公式確定g與周期的關(guān)系，會由重力等于萬有引力列式得g與質(zhì)量，半徑之間的數(shù)量關(guān)系．