Question

18．隨著我國登月計劃“嫦娥工程”的實施，我國宇航員登上月球已不是夢想．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力速度為g，月球繞地球運動周期為T，月球繞地球的運動近似看做勻速圓周運動，請求出月球繞地球運動的軌道半徑r．
（2）若宇航員登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t，小球落回拋出點，已知月球半徑為r_月，引力常量為G，請求出月球的質(zhì)量M_月和月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）在地球表面上重力與萬有引力相等，月球繞地球勻速圓周運動萬有引力提供圓周運動向心力，據(jù)此計算月球運動的軌道半徑；
（2）據(jù)小球豎直上拋運動的規(guī)律求出月球表面的重力加速度．在月球表面上由重力等于萬有引力，求月球的質(zhì)量．由萬有引力提供向心力，求月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）在地球表面物體的重力與萬有引力相等，有：
 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg     ①
月球繞地球運轉(zhuǎn)時，由地球的萬有引力提供圓周運動向心力，有：
 G$\frac{M{m}_{月}}{{r}^{2}}$=${m}_{月}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r  ②
由①②解得：月球繞地球運動的軌道半徑 r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）設月球表面處的重力加速度為g_月  
對豎直上拋小球有：g_月=$\frac{2{v}_{0}}{t}$  ③
在月球表面有：G$\frac{{M}_{月}m}{{r}_{月}^{2}}$=mg_月  ④
由③④解得 M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$
由牛頓第二定律，可得：
  G$\frac{{M}_{月}m}{{r}_{月}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{月}}$
所以月球的第一宇宙速度為 v=$\sqrt{{g}_{月}{r}_{月}}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}{r}_{月}}{t}}$
答：
（1）月球繞地球運動的軌道半徑為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）月球的質(zhì)量M_月為$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$，月球的第一宇宙速度是$\sqrt{\frac{2{v}_{0}{r}_{月}}{t}}$．

點評 對于天體運動問題，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式只能求出中心體的質(zhì)量．另外一個思路是重力等于萬有引力，得到GM=gR²，常常稱為黃金代換式．