Question

16．如圖甲所示，足夠長的平行導軌間距L=0.5m，導軌平面與絕緣水平面間的夾角θ=37°，導軌上端ab處接有一個R=4Ω的電阻，勻強磁場垂直于導軌平面且方向向上，磁感應(yīng)強度B₀=1T．將一根質(zhì)量為m=0.05kg，電阻不能忽略的金屬棒在導軌上端ab處由靜止釋放，當金屬棒滑行至cd處時速度達到最大，已知在此過程中，通過金屬棒截面的電量q=0.2C，金屬棒的加速度a與速度v的關(guān)系如圖乙所示，設(shè)金屬棒沿導軌向下運動過程中始終與ab平行且與導軌接觸良好．（重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）金屬棒與導軌間的動摩擦因數(shù)μ及金屬棒滑行至cd處的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（2）若將金屬棒滑行至cd處的時刻記作t=0，從此時刻起，讓磁感應(yīng)強度逐漸減小，為使金屬棒不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則磁感應(yīng)強度B應(yīng)怎樣隨時間t變化（寫出B與t的關(guān)系式）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和安培力與速度的關(guān)系式，得到a與v的關(guān)系式，結(jié)合圖象的信息求解動摩擦因數(shù)μ．根據(jù)電量求出棒下滑的距離，再由能量守恒定律求電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）要使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，則穿過線框的磁通量不變．同時棒受到重力、支持力與滑動摩擦力做勻加速直線運動．從而可求出磁感應(yīng)強度B應(yīng)怎樣隨時間t變化的，然后求出磁感應(yīng)強度與時間的關(guān)系式．

解答 解：（1）在達到穩(wěn)定速度前，金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢：E=B₀Lv
由歐姆定律得：I=$\frac{E}{R+r}$
棒所受的安培力：F_A=B₀IL
由牛頓第二定律得：mgsinθ-F_A-μmgcosθ=ma
聯(lián)立得 a=g（sinθ-μgcosθ）-$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{m（R+r）}$
由圖知，v=0時，a=2m/s²，即有 g（sinθ-μgcosθ）=2m/s²，解得 μ=0.5
當a=0時，v=2m/s，即有 g（sinθ-μgcosθ）-$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{m（R+r）}$=0
代入數(shù)據(jù)解得 r=1Ω
設(shè)棒ab處滑到cd處下滑的距離為s，由 q=$\overline{I}t$=$\frac{BL\overline{v}t}{R+r}$=$\frac{BLs}{R+r}$
則得 s=$\frac{q（R+r）}{BL}$=$\frac{0.2×（4+1）}{1×0.5}$m=2m
根據(jù)能量守恒得，重力勢能減小轉(zhuǎn)化為動能、摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能和回路中產(chǎn)生的焦耳熱．
由能量守恒定律得：mgs•sinθ=$\frac{1}{2}$mv²+μmgscosθ+Q
電阻R上產(chǎn)生的熱量：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q，代入數(shù)據(jù)解得：Q_R=0.08J；
（2）當回路中的總磁通量不變時，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流．
此時金屬棒將沿導軌做勻加速運動，故：mgsinθ-μmgcosθ=ma，a=2m/s²
設(shè)t時刻磁感應(yīng)強度為B，則：B₀Ls=BL（s+x）
位移：x=vt+$\frac{1}{2}$at²
解得：B=$\frac{{B}_{0}s}{s+vt+\frac{1}{2}a{t}^{2}}$=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$T；
答：
（1）金屬棒與導軌間的動摩擦因數(shù)μ是0.5，金屬棒滑行至cd處的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱是0.08J；
（2）磁感應(yīng)強度B應(yīng)怎樣隨時間t變化的關(guān)系式為B=$\frac{2}{2+2t+{t}^{2}}$T．

點評 本題的關(guān)鍵運用牛頓運動定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應(yīng)電動勢公式，推導出a與v的關(guān)系式，同時要明確當金屬棒速度達到穩(wěn)定時，則一定是處于平衡狀態(tài)，原因是安培力受到速度約束的．還巧妙用磁通量的變化去求出面積從而算出棒的距離．最后線框的總磁通量不變時，金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流是解題的突破點．