Question

12．同學們參照伽利略時期演示平拋運動的方法制作了如圖所示的實驗裝置．圖中水平放置的底板上豎直地固定有M板和N板．M板上部有一半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧形的粗糙軌道，P為最高點，Q為最低點，Q點處的切線水平，距底板高為H．N板上固定有三個圓環(huán)．將質量為m的小球從P處靜止釋放，小球運動至Q飛出后無阻礙地通過各圓環(huán)中心，落到底板上距Q水平距離為L處．不考慮空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）距Q水平距離為$\frac{L}{2}$的圓環(huán)中心到底板的高度；
（2）小球運動到Q點時速度的大小以及對軌道壓力的大小和方向；
（3）摩擦力對小球做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運動的特點，將運動分解即可求出；
（2）根據(jù)平拋運動的特點，即可求出小球運動到Q點時速度的大��；在Q點小球受到的支持力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出小球受到的支持力的大小；最后有牛頓第三定律說明對軌道壓力的大小和方向；
（3）小球從P到Q的過程中，重力與摩擦力做功，由功能關系即可求出摩擦力對小球做的功．

解答 解：（1）小球從Q拋出后運動的時間：$t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$①
水平位移：L=v_Q•t  ②
小球運動到距Q水平距離為$\frac{L}{2}$的位置時的時間：$t′=\frac{\frac{1}{2}L}{{v}_{Q}}=\frac{1}{2}t$  ③
此過程中小球下降的高度：h=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$   ④
聯(lián)立以上公式可得：h=$\frac{1}{4}H$
圓環(huán)中心到底板的高度為：H-$\frac{1}{4}H$=$\frac{3}{4}H$；
（2）由①②得小球到達Q點的速度：${v}_{Q}=\frac{L}{t}=L\sqrt{\frac{g}{2H}}$  ⑤
在Q點小球受到的支持力與重力的合力提供向心力，得：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{Q}^{2}}{R}$  ⑥
聯(lián)立⑤⑥得：${F}_{N}=mg（1+\frac{{L}^{2}}{2HR}）$
由牛頓第三定律可得，小球對軌道的壓力的大小：mg（1+$\frac{L^2}{2HR}$） 方向：豎直向下
（3）小球從P到Q的過程中，重力與摩擦力做功，由功能關系得：mgR+W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$  ⑦
聯(lián)立⑥⑦得：W_f=mg（$\frac{{L}^{2}}{4H}-R$）
答：（1）到底板的高度：$\frac{3}{4}H$；
（2）小球的速度的大�。�$L\sqrt{\frac{g}{2H}}$小球對軌道的壓力的大小：mg（1+$\frac{L^2}{2HR}$） 方向：豎直向下；
（3）摩擦力對小球做的功：mg（$\frac{{L}^{2}}{4H}-R$）．

點評 該題是平拋運動、功能關系以及圓周運動的綜合題，該題中要熟練掌握機械能守恒定律，能量守恒定律，以及圓周運動的臨界問題．