Question

12．2016年1月5日上午，國防科工局正式發(fā)布國際天文學聯合會批準的嫦娥三號探測器著陸點周邊區(qū)域命名為“廣寒宮”，附近三個撞擊坑分別命名為“紫微”、“天市”、“太微”．此次成功命名，是以中國元素命名的月球地理實體達到22個．已知地球半徑為R，表面重力加速度為g，質量為m的嫦娥三號衛(wèi)星在地球上空的萬有引力勢能為E_P=-$\frac{{mg{R^2}}}{r}$（以無窮遠處引力勢能為零），r表示物體到地心的距離．求：
（1）質量為m的嫦娥三號衛(wèi)星以速率v在某一圓軌道上繞地球做勻速圓周運動，求此時衛(wèi)星距地球地面高度h₁？
（2）要使嫦娥三號衛(wèi)星上升，從離地高度h₁（此問可以認為h₁為已知量）再增加h的軌道上做勻速圓周運動，衛(wèi)星發(fā)動機至少要做的功W為多少？

Answer 1

分析 （1）由萬有引力提供向心力結合黃金代換可求的高度．
（2）由所給的引力勢能的表達式寫出兩個狀態(tài)下的勢能，由萬有引力提供向心力求出速度，確定出動能，由功能關系確定做功量．

解答 解：（1）設地球質量為M，萬有引力恒量為G，衛(wèi)星距地面高度h₁時速度為v
對衛(wèi)星有：$G\frac{mM}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{v^2}{{R+{h_1}}}$，
對地面上物體有：$mg=G\frac{mM}{R^2}$，
解以上兩式得：${h_1}=\frac{{g{R^2}}}{v^2}-R$．
（2）衛(wèi)星在距地面高度h₁的軌道做勻速圓周運動有：
$G\frac{mM}{{{{（R+{h_1}）}^2}}}=m\frac{v^2}{{R+{h_1}}}$，
此時衛(wèi)星的動能為：${E_{k1}}=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{GMm}{{2（R+{h_1}）}}=\frac{{mg{R^2}}}{{2（R+{h_1}）}}$
萬有引力勢能為：${E_{p1}}=-\frac{{mg{R^2}}}{{R+{h_1}}}$，
則衛(wèi)星在距地面高度h₁時的總機械能為：${E_1}={E_{k1}}+{E_{p1}}=\frac{{mg{R^2}}}{{2（R+{h_1}）}}-\frac{{mg{R^2}}}{{R+{h_1}}}=-\frac{{mg{R^2}}}{{2（R+{h_1}）}}$
同理，衛(wèi)星在距地面高度h₁+h時的總機械能為：${E_2}=-\frac{{mg{R^2}}}{{2（R+{h_1}+h）}}$
由功能關系，衛(wèi)星發(fā)動機至少要做功為：$W={E_2}-{E_1}=\frac{{mg{R^2}h}}{{2（R+{h_1}）（R+{h_1}+h）}}$
故答案為：（1）此時衛(wèi)星距地球地面高度為$\frac{g{R}^{2}}{{v}^{2}}-R$．
（2）衛(wèi)星發(fā)動機至少要做的功W為$\frac{mg{R}^{2}h}{2（R+{h}_{1}）（R+{h}_{1}+h）}$．

點評 （1）考查萬有引力提供向心力所決定的速度，周期的表達式，結合黃金代換解題．（2）明確功能關系，準確寫出各位置的能量是解題的關鍵．