Question

如圖所示，一質量m=0.1kg、電量q=1.0×10^-5 C的帶正電小球（可視作點電荷），它在一高度和水平位置都可以調節(jié)的平臺上滑行一段距離后平拋，并沿圓弧軌道下滑。A、B為圓弧兩端點，其連線水平，已知圓弧半徑R=1.0m，平臺距AB連線的高度h可以在0.2m-0.8m.之間調節(jié)。有一平行半徑OA方向的勻強電場E，只存在圓弧區(qū)域內。為保證小球從不同高度h平拋，都恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點進入光滑豎直圓弧軌道，小球平拋初速度v₀和h滿足如圖所示的拋物線，其中兩點的坐標為（0.2，1.5），（0.8，3.0）。同時調節(jié)平臺離開A點的距離合適。不計空氣阻力，取g=10m/s²，求：

 （1）小球在空中飛行的最短時間t；

 （2）平臺離開A的水平距離x范圍；

（3）當h=0.2m且E=2.5×10⁴N/C時，小球滑到最低點C點的速度v；

（4）為了保證小球在圓軌道內滑動到C點的速度都是（3）中的v，則電場力F=qE的大小應與平臺高度h滿足的關系。（通過列式運算說明）

Answer 1

（1）（2分）當平臺高度為0.2m時，空中飛行的最短時間t==0.2s

（2）（4分）因為小球從不同高度h平拋，都恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點進入光滑豎直圓弧軌道，所以小球進入圓弧軌道時時的速度方向不變，設此速度與豎直方向成α角。

tgα==

v₀²=2ghtan²α

由圖像中當h=0.8m時，v₀=3m/s代入上式得

9=2×10×0.8×tg²α

tgα=0.75    α=37⁰    則θ=106⁰

所以v₀²=11.25h

當h=0.2m時, v₀=1.5m/s

平臺離開A的最小距離為s₁= v₀t=1.5×0.2=0.3m

同理得平臺離開A的最大距離為s₂= v₀=3×=1.2m

（3）（4分）小球到達A點時的速度v_A===2.5m/s

從A點到C點，由動能定理得

mgR(1-cos53⁰)-qE R(1-cos53⁰)= mv_C²- mv_A²

代入數據，解得v_C=3.5m/s

（4）（4分）從A點到C點，由動能定理得

mgR(1-cos53⁰)-FR(1-cos53⁰)=mv_C²- mv_A²

                           =mv_C²- m

                           =mv_C²- m

代入數據得32F=125h-17

       或