Question

13．假設宇宙中有兩顆相距無限遠的行星A和B，半徑分別為R_A和R_B，這兩顆行星周圍衛(wèi)星的運行周期的平方（T²）與軌道半徑的三次方（r²）的關系如圖所示，T₀為衛(wèi)星環(huán)繞行星表面運行的周期，則（　�。�

• A． 行星A的質(zhì)量小于行星B的質(zhì)量
• B． 行星A的密度大于行星B的密度
• C． 行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度
• D． 當兩行星的正常軌道半徑相同時，衛(wèi)星的角速度也相同

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，得出衛(wèi)星的周期與行星的質(zhì)量、半徑之間的關系，然后進行比較；
結(jié)合萬有引力提供向心力，分別寫出第一宇宙速度的表達式，然后比較它們的大小關系；

解答 解：A、根據(jù)萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}$
對于環(huán)繞行星A表面運行的衛(wèi)星，有：${T}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{A}^{3}}{G{M}_{A}^{\;}}}$…①
對于環(huán)繞行星B表面運行的衛(wèi)星，有：${T}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{B}^{3}}{G{M}_{B}^{\;}}}$…②
聯(lián)立①②得：$\frac{{R}_{A}^{3}}{{M}_{A}^{\;}}=\frac{{R}_{B}^{3}}{{M}_{B}^{\;}}$…③
由圖知${R}_{A}^{\;}＜{R}_{B}^{\;}$，所以${M}_{A}^{\;}＜{M}_{B}^{\;}$，故A正確；
B、A行星的質(zhì)量${M}_{A}^{\;}={ρ}_{A}^{\;}•\frac{4}{3}π{R}_{A}^{3}$，B行星的質(zhì)量為${M}_{B}^{\;}={ρ}_{B}^{\;}•\frac{4}{3}π{R}_{B}^{3}$
代入③得：$\frac{{R}_{A}^{3}}{{ρ}_{A}^{\;}•\frac{4}{3}π{R}_{A}^{3}}=\frac{{R}_{B}^{3}}{{ρ}_{B}^{\;}•\frac{4}{3}π{R}_{B}^{3}}$
解得：${ρ}_{A}^{\;}={ρ}_{B}^{\;}$，故B錯誤；
C、行星的近地衛(wèi)星的線速度即第一宇宙速度，根據(jù)萬有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{Gρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}{R}}=\sqrt{\frac{4}{3}Gρπ}R$∝R
因為${R}_{A}^{\;}＜{R}_{B}^{\;}$，所以${v}_{A}^{\;}＜{v}_{B}^{\;}$，即行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度，故C正確；
D、根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$，得$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$，因為軌道半徑相等，A行星的質(zhì)量小于B行星的質(zhì)量，所以A行星的衛(wèi)星的角速度小于B行星的衛(wèi)星的角速度，故D錯誤；
故選：AC

點評 本題考查考生從圖象獲取信息的能力，萬有引力提供圓周運動向心力，掌握萬有引力和向心力的表達式并能靈活運用是正確解題的關鍵．