Question

一質(zhì)量為m的小滑塊A沿斜坡由靜止開始下滑，與一質(zhì)量為km的靜止在水平地面上的小滑塊B發(fā)生正碰撞，如圖所示．設(shè)碰撞是彈性的，且一切摩擦不計．為使二者能且只能發(fā)生兩次碰撞，則k的值應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：兩個滑塊發(fā)生彈性碰撞，動量和機(jī)械能都守恒，根據(jù)動量守恒和機(jī)械能守恒列出方程，聯(lián)立可求出碰撞后兩個滑塊速度的表達(dá)式，分析為使第二次碰撞能發(fā)生k的條件．用同樣的方法得到第二碰撞后兩滑塊的速度，再分析為使第三次碰撞不會發(fā)生k滿足的條件，再綜合起來，即得到k的條件．

解答：解：設(shè)A與B碰撞前A的速度為v₀，碰后A與B的速度分別為v₁與V₁，由動量守恒及機(jī)械能守恒定律有
    mv₀=mv₁+kmV₁     （1）

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

km

V

2 1

  （2）
由此解得
  v₁=

1-k

k+1

v0   （3）
  V₁=

2

k+1

v0    （4）
為使A能回到坡上，要求v₁＜0，這導(dǎo)致k＞1；為使A從坡上滑下后再能追上B，應(yīng)有-v₁＞V₁，即
k-1＞2，這導(dǎo)致k＞3，于是，為使第二次碰撞能發(fā)生，要求k＞3．（5）
對于第二次碰撞，令v₂和V₂分別表示碰后A和B的速度，同樣由動量守恒及機(jī)械能守恒定律有：
   m（-v₁）+kmV₁=mv₂+kmV₂
  

1

2

m

v

2 1

+

1

2

km

V

2 1

=

1

2

m

v

2 2

+

1

2

km

V

2 2

由此解得
  v₂=

4k-(k-1)2

(k+1)2

v0               （6）
  V₂=

4(k-1)

(k+1)2

v0                    （7）
若v₂＞0，則一定不會發(fā)生第三次碰撞，若v₂＜0，且-v₂＞V₂，則會發(fā)生第三次碰撞．故為使第三次碰撞不會發(fā)生，要求A第三次從坡上滑下后速度的大小（-v2）不大于B速度的大小V₂，即
-v₂≤V₂  （8）
由（6）、（7）、（8）式得
  k²-10k+5≤0                           （9）
由（9）式的解為
  5-2

5

≤k≤5+2

5

                       （10）
（10）與（5）的交集即為所求：
  3＜k≤5+2

5

     
答：為使二者能且只能發(fā)生兩次碰撞，則k的值應(yīng)滿足的條件是 3＜k≤5+2

5

．

點評：對于彈性碰撞，動量守恒和機(jī)械能守恒是基本規(guī)律，本題的難點是分析為使兩滑塊能且只能發(fā)生兩次碰撞的條件，由數(shù)學(xué)知識求出k滿足的條件．