Question

如圖（a）所示，兩塊平行金屬板，相距為d，加上如圖（b）所示的方波形電壓，電壓最大值為U_m，周期為T．現(xiàn)有一離子束，其中每個(gè)粒子的帶電荷量為Q，質(zhì)量為m，從與兩板等距處與板平行的方向連續(xù)射入[如圖（a）]．設(shè)粒子通過平行板所用的時(shí)間為T（和電壓變化的周期相同），且已知所有的粒子最后都可以通過兩板間的空間而打在右端的靶上．試求粒子最后打在靶上的位置范圍（即與靶心O′的最大距離和最小距離）．不計(jì)重力影響．

Answer 1

分析：金屬板間沒有電壓時(shí)，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)；有電壓時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著平行于初速度方向和垂直于初速度的方向正交分解，在平行于初速度方向，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直于初速度方向，粒子在電場力的作用下做變速直線運(yùn)動(dòng)，粒子在t=0時(shí)刻進(jìn)入時(shí)，與靶心O′有最大的距離；在t=

T

2

時(shí)刻進(jìn)入時(shí)，與靶心O′有最小的距離；根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合列式求解即可．

解答：解：（1）t=0時(shí)刻射入的粒子打在靶上的位置與靶心O′的距離最大
設(shè)此距離為Y_max．
此粒子在 t=0至 t1=

T

2

時(shí)間內(nèi)，在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向的位移為
   Y1=

1

2

at12=

1

2

×

QUm

md

×(

T

2

)2=

QUmT2

8md

此粒子在t1=

T

2

至t₂=T時(shí)間內(nèi)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向分速度為vy=a×t1=

QU m

md

×

T

2

豎直方向的位移為Y2=vy×

T

2

=

QU m

md

×

T

2

×

T

2

=

QUmT2

4md

∴Ymax=Y1+Y2=

QUmT2

8md

+

QUmT2

4md

=

3QUmT2

8md

（2）t=

T

2

時(shí)刻射入的粒子打在靶上的位置與靶心O′的距離最小
設(shè)此距離為Y_min．
此粒子在t=

T

2

至 t=T時(shí)間內(nèi)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)；在t=T至 t=

3T

2

時(shí)間內(nèi)，粒子在水平方向上仍做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向的位移為Ymin=Y1=

QUmT2

8md

∴粒子打在靶上的范圍在距靶心O′為

QUmT2

8md

至

3QUmT2

8md

之間． 
答：粒子最后打在靶上的位置范圍在距靶心O′為

QUmT2

8md

至

3QUmT2

8md

之間．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著平行于初速度方向和垂直于初速度方向進(jìn)行正交分解，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．