Question

（2013?開封一模）如圖所示K與虛線MN之間是加速電場(chǎng)．虛線MN與PQ之間是勻強(qiáng)電場(chǎng)，虛線PQ與熒光屏之間是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且MN、PQ與熒光屏三者互相平行．電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向如圖所示．圖中A點(diǎn)與O點(diǎn)的連線垂直于熒光屏．一帶正電的粒子由靜止被加速從A點(diǎn)離開加速電場(chǎng)，速度方向垂直于偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)方向射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，在離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，最后恰好垂直地打在圖中的熒光屏上．已知電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域在豎直方向足夠長(zhǎng)，加速電場(chǎng)電壓與偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)關(guān)系為U=

Ed

2

，式中的d是偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的寬度且為已知量，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B與偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E和帶電粒子離開加速電場(chǎng)的速度v₀關(guān)系符合表達(dá)式v₀=

E

B

，如圖所示，試求：
（1）畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖，
（2）磁場(chǎng)的寬度L為多少？
（3）改變磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，則熒光屏是出現(xiàn)的亮線長(zhǎng)度是多少？

Answer 1

分析：（1）帶電粒子經(jīng)加速電場(chǎng)加速，進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，帶電粒子最終垂直地打在熒光屏上，說明帶電粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度與在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度大小相等，方向相反，作出軌跡如圖．
（2）用程序法研究：用動(dòng)能定理求解粒子獲得的速度v₀，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解求出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度，由牛頓定律求出磁場(chǎng)中軌跡半徑，幾何關(guān)系求出磁場(chǎng)的寬度．
（3）用極限法分析：當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為零時(shí)，粒子打在D點(diǎn)．當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度增加到一定程度，使帶電粒子剛好和熒光屏相切時(shí)，為帶電粒子打到熒光屏上的最高點(diǎn)．由幾何知識(shí)求出亮線的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，帶電粒子最終垂直地打在熒光屏上，說明帶電粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度與在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度大小相等，方向相反，其軌跡如圖所示．
    （2）帶電粒子在加速電場(chǎng)中
     根據(jù)動(dòng)能定理，得qU=

1

2

mv

2 0

     帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)偏轉(zhuǎn)角為θ
              則tanθ=

vy

v0

，vy=at，a=

qE

m

，t=

d

v0

    代入解得θ=45°則豎直速度與水平速度大小相等，帶電粒子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)速度為v=

2

v0
    設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑為R
              則由qvB=m

v2

R

    得R=

mv

qB

=

m 2 v0

qE v0

=

2 mv 2 0

qE

      又U=

1

2

Ed
   代入解得R=

2

d
  帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角與在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)相等，才能垂直打在熒光屏上，由圖可知，磁場(chǎng)寬度L=Rsinθ=d                       
（3）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為零時(shí)，帶電粒子從C點(diǎn)射出時(shí)，沿直線打到熒光屏上D點(diǎn)，為帶電粒子打到熒光屏上的最低點(diǎn)．
     則OD=Ltan45°=L
     當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度增加到一定程度，使帶電粒子剛好和熒光屏相切時(shí)，為帶電粒子打到熒光屏上的最高點(diǎn)．
    L=R+Rcos450=(

2 +2

2

)R
   OF=Rsin450=(

2

-1)L 
則亮線長(zhǎng)度FD=OF+OD=

2

L=

2

d
答：（1）帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖如圖．
    （2）磁場(chǎng)的寬度L為d．
    （3）改變磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，熒光屏是出現(xiàn)的亮線長(zhǎng)度是

2

d．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，粒子在電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解方法處理，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫軌跡．