Question

1．如圖，粗糙、絕緣的直軌道固定在水平桌面上，B端與桌面邊緣對齊，A是軌道上一點，過A點并垂直于軌道的豎直面右側(cè)有大小E=2×10⁶N/C，方向水平向右的勻強電場．可視為質(zhì)點的帶負電的小物體P電荷量q=2×10^-6C，質(zhì)量m=0.25kg，與軌道間動摩擦因數(shù)μ=0.4．P由靜止開始向右運動，經(jīng)過0.55s到達A點，到達B點時速度是5m/s．P在整個運動過程中始終受到水平向右的外力F作用，F(xiàn)大小與P的速率v的關(guān)系如表格所示，忽略空氣阻力．

v（m•s-1）	0≤v≤2	2＜v＜5	v≥5
F/N	2	6	4

（1）求小物體P從開始運動至A點的速率；
（2）求小物體P從A運動至B的過程，電場力做的功；
（3）小物體P到達B點后，飛向另一側(cè)呈拋物線形狀的坡面．如圖，以坡底的O點為原點建立坐標系xoy．已知BO高為h，坡面的拋物線方程為y=$\frac{1}{2h}$x²，式中h為常數(shù)，且h＞7，重力加速度為g．若當小物體P剛到達B點時，通過對其施加一個水平向右的瞬時力，改變其在B點的速度．則欲使P落到坡面時的動能恰好最小，求其在B點時的速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律計算加速度的大小，根據(jù)運動學(xué)的公式計算速度的大��；
（2）牛頓第二定律和運動學(xué)的公式計算位移的大小，根據(jù)電場力做功的公式計算做功的大��；
（3）物體P離開桌面做平拋運動，最后落到斜面上，根據(jù)平拋運動的規(guī)律和機械能守恒計算動能最小的時候B的速度的大小．

解答 解：（1）物體P在水平桌面上運動時，豎直方向上只受重力mg和支持力N作用，因此其滑動摩擦力大小為：
F_f=μmg=1N
根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，物體P在速率0≤v≤2m/s時，所受水平外力F₁=2N＞F_f．因此，在進入電場區(qū)域之前，物體P做勻加速直線運動，設(shè)加速度為a₁，不妨設(shè)經(jīng)時間t₁速度為v₁=2m/s時，物體P還未進入電場區(qū)域．
根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律有：v₁=a₁t₁…①
根據(jù)牛頓第二定律有：F₁-F_f=ma₁…②
由（1）（2）式聯(lián)立解得：${t}_{1}=\frac{mv}{{F}_{1}-{F}_{f}}$=0.5s＜0.55s，
所以假設(shè)成立，即小物體P從開始運動至速率為2m/s所用的時間為t₂=0.5s．
當物體P在速率2＜v＜5m/s時，所受水平外力F₁=6N，
設(shè)先以加速度a₁再加速t₃=0.05s至A點，速度為v_A，
根據(jù)牛頓第二定律有：F₂-F_f=ma₂…③
根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律有：v_A=v₁+a₂t…④
由（3）（4）式聯(lián)立解得：v_A=3m/s
（2）物體P從A點運動至B點的過程中，由題意可知，所受水平外力仍然為F₂=6N不變，
設(shè)位移為s，加速度為a₃，
根據(jù)牛頓第二定律有：F₃-qE-F_f=ma₃…⑤
根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律有：${V}_{B}^{2}-{V}_{A}^{2}=2{a}_{3}s$…⑥
由（5）（6）式聯(lián)立解得：s=2m
所以電場力做的功為：W=-qEs=-8J
（3）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，當物體P到達B點時，水平外力為F₃=qE=4N，因此，物體P離開桌面做平拋運動．
設(shè)物體P在空中運動的時間為t，在坡面上落點的橫坐標為x，縱坐標為y．
由運動學(xué)公式和已知條件得，x=v_Bt…⑦
h-y=$\frac{1}{2}$gt²…⑧
根據(jù)題意有  y=$\frac{1}{2h}$x²…（9）
由機械能守恒，落到坡面時的動能為 $\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}+mg（h-y）$…（10）
聯(lián)立（7）（8）（9）（10）式得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m（{v}_{B}^{2}+\frac{2{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{B}^{2}+gh}）$
上式可以改寫為：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m（{v}_{B}^{2}+gh+\frac{2{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{B}^{2}+gh}-gh）$
利用基本不等式可得當：${v}_{B}^{2}+gh=\frac{2{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{B}^{2}+gh}$時，動能最小．
此時，v_B=$\sqrt{（\sqrt{2}-1）gh}$
答：（1）小物體P從開始運動至A點的速率為3m/s；
（2）小物體P從A運動至B的過程，電場力做的功為-8J；
（3）在B點時的速度為$\sqrt{（\sqrt{2}-1）gh}$．

點評 本題是電場和平拋運動的綜合題目，第三問中的動能最小值要根據(jù)平拋運動和機械能守恒，結(jié)合運動規(guī)律和拋物線方程來計算最小的情況，利用的數(shù)學(xué)知識比較多，難度較大．