Question

19．如圖甲所示，半圓柱形玻璃磚長為L，其半圓形截面的半徑為R，其折射率n=$\sqrt{2}$．

（1）現(xiàn)有平行光束垂直射向上底矩形平面，如圖乙，試求在下側(cè)圓弧面上有光線射出的范圍（用截面上對(duì)應(yīng)的圓心角大小表示）；
（2）如圖丙，若平行光束以與上底平面成45°角射向玻璃磚，要讓其下側(cè)圓弧面上沒有光線射出，需在上底平面上放置一塊遮光板，試求遮光板的最小面積．（正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$）

Answer 1

分析 （1）在半圓上有光線射出的部分光線沒有發(fā)生全反射，沒有光線射出的部分光線發(fā)生了全反射，根據(jù)臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角C，再由幾何關(guān)系求圓弧面上有光線射出的范圍．
（2）由折射定律求出折射率．在圓弧面上有光射出部分的邊緣光線恰好發(fā)生全反射，找出圓弧面上恰好沒有光線射出的臨界點(diǎn)，再結(jié)合幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）光線垂直射向平面時(shí)射入玻璃磚內(nèi)，其傳播方向不變．設(shè)某條光線射到圓弧面上的A點(diǎn)時(shí)剛好發(fā)生全反射，其臨界角為C，由折射定律有
  sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

得臨界角 C=45°
由幾何分析可知，A點(diǎn)右側(cè)光線的入射角小于臨界角．
由圓弧的對(duì)稱性可知，圓心O點(diǎn)右側(cè)與A點(diǎn)對(duì)稱的B點(diǎn)也剛好發(fā)生全反射．
故在下側(cè)圓弧面上有光線射出的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為∠AOB=2C=90°
（2）當(dāng)平行光束與界面成45°入射時(shí)，其入射角 i=45°
由折射定律 n=$\frac{sini}{sinr}$，得其對(duì)應(yīng)的折射角的正弦值 sinr=$\frac{sini}{n}$=$\frac{1}{2}$
得折射角 r=30°
設(shè)某條光線入射到點(diǎn)M經(jīng)折射后到圓弧面上的N點(diǎn)，剛好發(fā)生全反射，
有∠ONM=C=45°
在△MON中由正弦定理有
  $\frac{ON}{sin∠OMN}$=$\frac{MO}{sin∠ONM}$

得M到圓心O的距離
 MO=$\frac{sin∠MNO}{sin∠OMN}$•ON=$\frac{sin45°}{sin60°}$•R=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R
同理，設(shè)O點(diǎn)右側(cè)某條光線射到H點(diǎn)時(shí)，其折射光線射到圓弧面上的G點(diǎn)也剛好發(fā)生全反射，在△HOG中，有
  $\frac{OG}{sin∠OHG}$=$\frac{OH}{sin∠HGO}$
得，O到H的距離 OH=$\frac{OG}{sin∠OHG}$•sin∠HGO=$\frac{R}{sin（90°+30°）}$×sin45°=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R
在圓弧面上N到G點(diǎn)間的入射光線均可從圓弧面上射出，要下側(cè)圓弧面上沒有光線射出，只需遮擋住M到H間的位置，故遮光板的最小面積為
  S=MH•L=（MO+OH）L=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$RL
答：
（1）在下側(cè)圓弧面上有光線射出的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為90°．
（2）遮光板的最小面積是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$RL．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要理解光的全反射條件和臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)求相關(guān)的角度和長度，結(jié)合折射定律研究．