Question

5．如圖所示，輪半徑r很小的傳送帶，水平部分AB的長(zhǎng)度L=1.5m，與一圓心在O點(diǎn)、半徑R=1m的豎直光滑圓軌道的末端相切于A點(diǎn)，AB高出水平地面H=1.25m，一質(zhì)量m=0.1kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），由圓軌道上的P點(diǎn)從靜止釋放，OP與豎直線的夾角θ=37°．已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10m/s²，滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，不計(jì)空氣阻力．
（1）求滑塊對(duì)圓軌道末端的壓力的大小；
（2）若傳送帶一直保持靜止，求滑塊的落地點(diǎn)與B間的水平距離；
（3）若傳送帶以v₀=2.4m/s的速度沿順時(shí)針方向運(yùn)行（傳送帶上部分由A到B運(yùn)動(dòng)），求滑塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)過程中摩擦力做功的功率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求得滑塊到達(dá)末端A時(shí)的速度，再由牛頓第二定律求得軌道對(duì)滑塊的支持力，由牛頓第三定律得滑塊對(duì)圓軌道的壓力；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求得滑塊離開傳送帶時(shí)的速度，再根據(jù)平拋知識(shí)求滑塊落地點(diǎn)與B間的水平距離；
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出滑塊在傳送帶上勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度，由速度公式求出滑塊加速至傳送帶速度時(shí)所用時(shí)間，再求摩擦力做功的功率．

解答 解：（1）滑塊從P到圓軌道末端的過程中，由動(dòng)能定理可得：
   mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}$mv²-0
可得滑塊到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度 v=$\sqrt{2gR（1-cos37°）}$=$\sqrt{2×10×（1-0.8）}$m/s=2m/s；
滑塊在軌道末端時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得 N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$=0.1×10+0.1×$\frac{{2}^{2}}{1}$=1.4N
根據(jù)牛頓第三定律得：滑塊對(duì)圓軌道末端的壓力大小為1.4N，方向豎直向下；
（2）從A到B的過程中，只有摩擦力對(duì)滑塊做功，根據(jù)動(dòng)能定理得：
-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²
代入數(shù)據(jù)可解得滑塊到達(dá)B時(shí)的速度 v_B=1m/s
滑塊從B點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，則滑塊落地點(diǎn)距B點(diǎn)的水平距離：
  x=v_Bt=v_B$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=1×$\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$m=0.5m
（3）若傳送帶以v₀=2.4m/s的速度沿順時(shí)針方向運(yùn)行，滑塊先做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=1m/s²．
從滑上傳送帶到與傳送帶共速的時(shí)間 t₁=$\frac{{v}_{0}-v}{a}$=$\frac{2.4-2}{1}$=0.4s
勻加速的位移 x₁=$\frac{v+{v}_{0}}{2}{t}_{1}$=$\frac{2+2.4}{2}×0.4$=0.88m＜L=1.5m
接著滑塊做勻速運(yùn)動(dòng)，用時(shí) t₂=$\frac{L-{x}_{1}}{{v}_{0}}$=$\frac{1.5-0.88}{2.4}$≈0.25s
滑塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)的總時(shí)間 t=t₁+t₂=0.65s
摩擦力做功為 W=μmgx₁=0.1×0.1×10×0.88=0.088J
所以滑塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)過程中摩擦力做功的功率為 P=$\frac{W}{t}$=$\frac{0.088}{0.65}$≈0.14W
答：
（1）滑塊對(duì)圓軌道末端的壓力為1.4N；
（2）若傳送帶一直保持靜止，滑塊的落地點(diǎn)與B間的水平距離為0.5m；
（3）滑塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)過程中摩擦力做功的功率為0.14W．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是要理清滑塊在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．