Question

(20分)如圖所示，接地的空心導(dǎo)體球殼內(nèi)半徑為R，在空腔內(nèi)一直徑上的P₁和P₂處，放置電量分別為q₁和q₂的點電荷，q₁＝q₂＝q，兩點電荷到球心的距離均為a．由靜電感應(yīng)與靜電屏蔽可知：導(dǎo)體空腔內(nèi)表面將出現(xiàn)感應(yīng)電荷分布，感應(yīng)電荷電量等于－2q．空腔內(nèi)部的電場是由q₁、q₂和兩者在空腔內(nèi)表面上的感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的．由于我們尚不知道這些感應(yīng)電荷是怎樣分布的，所以很難用場強疊加原理直接求得腔內(nèi)的電勢或場強．但理論上可以證明，感應(yīng)電荷對腔內(nèi)電場的貢獻，可用假想的位于腔外的（等效）點電荷來代替（在本題中假想(等效)點電荷應(yīng)為兩個），只要假想的（等效）點電荷的位置和電量能滿足這樣的條件，即：設(shè)想將整個導(dǎo)體殼去掉，由q₁在原空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷的假想（等效）點電荷與q₁共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為0；由q₂在原空腔內(nèi)表面的感應(yīng)電荷的假想（等效）點電荷與q₂共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為0．這樣確定的假想電荷叫做感應(yīng)電荷的等效電荷，而且這樣確定的等效電荷是唯一的．等效電荷取代感應(yīng)電荷后，可用等效電荷、和q₁、q₂來計算原來導(dǎo)體存在時空腔內(nèi)部任意點的電勢或場強。

1．試根據(jù)上述條件，確定假想等效電荷、的位置及電量．

2．求空腔內(nèi)部任意點A的電勢U_A．已知A點到球心O的距離為r，與的夾角為q ．

Answer 1

解析：

1．解法Ⅰ：

如圖1所示，S為原空腔內(nèi)表面所在位置，的位置應(yīng)位于的延長線上的某點B₁處，的位置應(yīng)位于的延長線上的某點B₂處．設(shè)A₁為S面上的任意一點，根據(jù)題意有

                  (1)

     (2)

怎樣才能使 (1) 式成立呢？下面分析圖1中與的關(guān)系．

若等效電荷的位置B₁使下式成立，即

                  (3)

即                 (4)

則         

有                (5)

由 (1)式和 (5)式便可求得等效電荷   

        (6)

由 (3) 式知，等效電荷的位置B₁到原球殼中心位置O的距離

     (7)

同理，B₂的位置應(yīng)使，用類似的方法可求得等效電荷

         (8)

等效電荷的位置B₂到原球殼中心O位置的距離

     (9)

解法Ⅱ：

在圖1中，設(shè)，，．根據(jù)題意，和兩者在A₁點產(chǎn)生的電勢和為零．有

                             （1＇）

式中

                         （2＇）

                         （3＇）

由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得

                 （4＇）

（4＇）式是以為變量的一次多項式，要使（4＇）式對任意均成立，等號兩邊的相應(yīng)系數(shù)應(yīng)相等，即

                        （5＇）

                                   （6＇）

由（5＇）、（6＇）式得

                         （7＇）

解得          （8＇）

由于等效電荷位于空腔外部，由（8＇）式求得

        （9＇）

由（6＇）、（9＇）式有

          （10＇）

考慮到（1＇）式，有

                                  （11＇）

同理可求得

                                （12＇）

    （13＇）   

2．A點的位置如圖2所示．A的電勢由q₁、、q₂、共同產(chǎn)生，即

        (10)

                                  

因

            

   

代入 (10) 式得

  

         (11)

評分標(biāo)準(zhǔn)：

本題20分．第1問18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分．解法Ⅱ的評分可參考解法Ⅰ．第2問2分，即(11)式2分．