Question

我國(guó)北方地區(qū)近年來(lái)遭遇嚴(yán)重的沙塵暴天氣，現(xiàn)把沙塵上揚(yáng)后的情況簡(jiǎn)化為如下情景：v為豎直向上的風(fēng)速，沙塵顆粒被揚(yáng)起后懸浮在空中（不動(dòng)），這時(shí)風(fēng)對(duì)沙塵的作用力相當(dāng)于空氣不動(dòng)而沙塵以速度v豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的阻力．此阻力可用下式表達(dá)f=aρAv²其中a為一系數(shù)，A為沙塵顆粒的截面積，ρ為空氣密度．（球體體積V=

4

3

πR³）
（1）若沙粒的密度ρ₅，沙塵顆粒為球形，半徑為r，地球表面處空氣密度ρ₀，試估算在地面附近上述v的最小值．
（2）假定空氣密度ρ隨高度h的變化關(guān)系為ρ=ρ₀（1-Ch）其中ρ₀為h=0處的空氣密度，C為一常量，試估算當(dāng)v=v₀、揚(yáng)沙穩(wěn)定時(shí)的最大高度．（不考慮g隨高度的變化）

Answer 1

（1）沙粒懸浮在空中，所受阻力與重力平衡，即：
mg=f…①
m=ρ_sV=ρ_s

4

3

πr³…②
f=aρ₀Avmin2=aρ₀πr²vmin2…③
v_min=

4ρsrg 3aρ0

…④
（2）由于高度增加，空氣密度減小，故當(dāng)速度為 v₀時(shí)，隨著沙粒的上升，沙粒所受阻力減小，當(dāng)沙粒所受阻力與重力平衡時(shí)，沙粒懸浮在空中不再上升，此時(shí)揚(yáng)沙高度最大：
mg=f
m=ρ_sV=

4

3

πr³
f=aρ₀（1-ch_m）Av02…⑤
得：h_m=

1

C

（1-

4rρsg

3av02ρ0

）…⑥
答：（1）在地面附近上述v的最小值為

4ρsrg 3aρ0

．
（2）當(dāng)v=v₀、揚(yáng)沙穩(wěn)定時(shí)的最大高度為得：

1

C

（1-

4rρsg

3av02ρ0

）．