Question

3．如圖甲所示，一根粗繩AB，其質量均勻分布，繩右端B置于水平光滑桌面邊沿，現擾動粗繩右端B，使繩沿桌面邊沿作加速運動，當B端向下運動x時，如圖乙所示，距B端x處的張力T與x的關系滿足T=5x-$\frac{5}{2}$x²，一切摩擦不計，下列說法中正確的是（g=10m/s²）（　　）

• A． 可求得粗繩的總質量
• B． 不可求得粗繩的總質量
• C． 可求得粗繩的總長度
• D． 可求得當x=1m時粗繩的加速度大小

Answer 1

分析 設繩子的質量為m，長度為l，求出x段的繩子的質量，由牛頓第二定律求出繩子的加速度以及拉力T的表達式，結合題目給出的T=5x-$\frac{5}{2}$x²，分析即可．

解答 解：A、設繩子的質量為m，長度為l，則桌面以下的x段的繩子的質量${m}_{x}=\frac{x}{l}•m$，桌面以上的部分：$m′=m-{m}_{x}=（1-\frac{x}{l}）m$
桌面以下的x段的繩子受到重力和繩子的拉力，則：m_xg-T=m_xa
桌面以上的部分：T=m′a
聯立得：T=$mg（\frac{x}{l}-\frac{{x}^{2}}{{l}^{2}}）$
又：T=5x-$\frac{5}{2}$x²
即：5x-$\frac{5}{2}$x²=$mg（\frac{x}{l}-\frac{{x}^{2}}{{l}^{2}}）$
可得：m=1kg，l=2m．故AC正確，B錯誤；
D、當x=1m時粗繩的桌面以上的部分與桌面以下的部分長度相等，則兩部分的質量相等，都是0.5m，所以：a=$\frac{0.5mg}{m}=0.5g=5m/{s}^{2}$．故D正確．
故選：ACD

點評 該題屬于整體法與隔離法的典型題目，其中題目給出的T=5x-$\frac{5}{2}$x²的形式比較新穎，增加了一定的難度，但在解答時仍然要理解整體法與隔離法的應用．