Question

13．如圖所示，坐標系xOy在豎直平面內，y軸沿豎直方向，第二、三和四象限有沿水平方向、垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為B，第四象限的空間內有沿x軸正方向的勻強電場，場強為E，一個帶正電荷的小球從圖中x軸上的M點，沿著與水平方向成θ=30°角斜向下的直線做勻速運動，經(jīng)過y軸上的N點進入x＜0的區(qū)域內，在x＜0區(qū)域內加一勻強電場E₁（圖中未畫出），小球進入x＜0區(qū)域后能在豎直面內做勻速圓周運動（已知重力加速度為g）
（1）求勻強電場E₁的大小和方向；
（2）若帶電小球做圓周運動通過y軸上的P點（P點未標出），求小球從N點運動到P點所用的時間t；
（3）若要使小球從第二象限穿過y軸后能夠沿直線運動到M點，可在第一象限加一勻強電場，求此電場強度的最小值E₂，并求出這種情況下小球到達M點的速度v_M．

Answer 1

分析 （1）由于帶電小球在第四象限x＜0區(qū)域內做勻速圓周運動，那么它受到的重力與電場力抵消，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，由重力與電場力平衡從而能求出該區(qū)域內的電場強度大小和方向．但題目并沒有告訴小球的質量，所以要從小球在第Ⅳ做勻減速直線運動，由三力平衡從而求出小球的重力和小球勻速直線運動的速度．
（2）小球從N點與y軸成60°進入x＜0區(qū)域內做勻速圓周運動，當小球再次回到y(tǒng)軸時，由圓周運動的對稱性，速度方向偏轉300°，從N到P的時間是$\frac{2}{3}T$．
（3）由題意，小球所受合力的方向一定沿著PM方向，由力的合成法則，電場力的最小值就垂直于PM斜向右上．由平行四邊形定則就能求出E₂ ．

解答 解：（1）設小球質量為m，電量為q，速度為v，球在MN段受力如圖，因為在MN段做勻速直線運動，
  所以球受到如圖所示的三個而平衡．
  mgtan30°=qE
  qvBsin30°=qE
  解得：$mg=\sqrt{3}qE$
      $v=\frac{2E}{B}$
  在x＜0區(qū)域內，有mg=qE₁
  由以上各式解得E₁=$\sqrt{3}E$，方向為豎直向上．
（2）球在磁場中做勻速圓周運動的周期是
  $T=\frac{2πR}{v}$
 而  $qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
  $t=\frac{2}{3}T$
  故小球從N到P經(jīng)歷的時間是：$t=\frac{4\sqrt{3}πE}{3Bg}$
（3）小于從P點沿直線運動到M點，由受力分析可知：qE₂=mgcos30°
  由以上各式得：${E}_{2}=\frac{3}{2}E$
  這種情況下，小球從P點沿直線運動到M點的加速度為
  a=gsin30°=$\frac{1}{2}g$
  由幾何關系可知，PM的距離為s=Rcot30°
  所求${v}_{M}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+2as}$
  由以上各式得${v}_{M}=\sqrt{10}\frac{E}{B}$
答：（1）勻強電場E₁的大小為$\sqrt{3}E$、方向為豎直向上．
（2）若帶電小球做圓周運動通過y軸上的P點（P點未標出），小球從N點運動到P點所用的時間t為$\frac{4\sqrt{3}πE}{3Bg}$
（3）若要使小球從第二象限穿過y軸后能夠沿直線運動到M點，可在第一象限加一勻強電場，則此電場強度的最小值E₂為$\frac{3}{2}E$，這種情況下小球到達M點的速度v_M為$\sqrt{10}\frac{E}{B}$．

點評 此題是一道共點力平衡以及勻速圓周運動的綜合題，不同常規(guī)的是：①該題已知的不是質量而是場強，所以先要根據(jù)第Ⅳ象限內做勻速直線運動的平衡情況求出小球的質量和速度．②受三個力做勻速圓周運動，則只有重力和電場力抵消才能在洛侖茲力作用下作勻速圓周運動，從而求出x＜0區(qū)域內的電場強度．③在第一象限沿直線從P到M點，則考察的是做直線運動的條件：合力與速度方向在一條直線上．