Question

如圖所示，光滑水平面上，質(zhì)量為m的小球B連接著輕質(zhì)彈簧，處于靜止?fàn)顟B(tài)，質(zhì)量為2m的小球A以大小為v₀的初速度向右運(yùn)動(dòng)，接著逐漸壓縮彈簧并使B運(yùn)動(dòng)，過一段時(shí)間，A與彈簧分離．
（1）當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能Ep多大？
（2）若開始時(shí)在B球的右側(cè)，某位置固定一擋板，在A球與彈簧未分離前使B球與擋板碰撞，并在碰后立刻將擋板撤走，設(shè)B球與擋板的碰撞時(shí)間極短，碰后B球的速度大小不變但方向相反，欲使此后彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈性勢(shì)能達(dá)到第（1）問中Ep的2.5倍，必須使B球的速度多大時(shí)與擋板發(fā)生碰撞？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)，兩球的速度相等，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列式，即可求出彈簧的彈性勢(shì)能E_P．
（2）設(shè)B球與擋板碰撞時(shí)，A球速度為v₁、B球速度為v₂（均向右），根據(jù)動(dòng)量守恒列式，B球與擋板剛碰后，A球速度為v₁、B球速度為-v₂（向左），此后彈簧壓縮至最短時(shí)有共同速度，再由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列式，即可得解．

解答：解：（1）當(dāng)彈簧壓縮到最短時(shí)，A、B的速度相等，2mv₀=3mv₁ ①
A和B的共同速度v₁=

2

3

v₀
根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得

1

2

?2mv₀²=

1

2

?3mv₁²+Ep          ②
解得 此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能Ep=

1

3

mv₀²                    ③
（2）B碰擋板時(shí)沒有機(jī)械能損失，碰后彈簧被壓縮到最短時(shí)，A、B速度也相等，

1

2

?2mv₀²=

1

2

?3mv₂²+Ep′④
   Ep′=2.5Ep=

5

6

mv₀²
解得v₂=±

v0

3

⑤
取向右為正方向．若v₂=

v0

3

，則表示B球與板碰撞后，A、B此時(shí)一起向右運(yùn)動(dòng)．B球與板碰撞前B與A動(dòng)量守恒
 2mv₀=2 mv_A+mv_B⑥
B球與板碰撞后B與A動(dòng)量也守恒
  2mv_A-mv_B=3m?

v0

3

⑦
解得   v_A=

3

4

v₀，v_B=

v0

2

因?yàn)榇藭r(shí)v_A＞v_B，彈簧還將繼續(xù)縮短，所以這種狀態(tài)是能夠出現(xiàn)的，
若v₂=-

v0

3

，則表示B球與板碰撞后A、B向左運(yùn)動(dòng)，B球與板碰撞后B和A動(dòng)量守恒
  2mv_A-mv_B=3mv₂=-3m?

v0

3

 ⑧
由⑥⑧可得，v_A=

v0

4

，v_B=

3

2

v₀                    
此時(shí)A、B球的總動(dòng)能E_K總=

1

2

?2mv_A²+

1

2

mv_B²=m（

v0

4

）²+

1

2

（

3

2

v₀）²=

19

16

mv₀² 
E_K總大于A球最初的動(dòng)能mv₀²，因此v_B=

3

2

v₀這種狀態(tài)是不可能出現(xiàn)的，因此必須使B球在速度為

v0

2

時(shí)與擋板發(fā)生碰撞．   ⑨
答：
（1）當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能Ep為

1

3

mv₀²．
（2）必須使B球在速度為

v0

2

時(shí)與擋板發(fā)生碰撞．

點(diǎn)評(píng)：本題是含有彈簧的問題，要分析物體的運(yùn)動(dòng)過程，抓住系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒進(jìn)行分析，綜合性較強(qiáng)．