Question

5．跳臺滑雪是勇敢者的運(yùn)動．如圖所示，滑雪者著專用滑雪板，在助滑道AB上獲得一定速度后從B點(diǎn)沿水平方向躍出，在空中飛行一段時間后著落，這項(xiàng)運(yùn)動極 為壯觀．已知滑雪者和滑雪板的總質(zhì)量為m，斜坡BC傾角為θ，B點(diǎn)距水平地面CD的高度為h，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．
（1）若滑雪者水平躍出后直接落到地面上，求滑雪者在空中運(yùn)動的時間t₀．
（2）為使滑雪者躍出后直接落到地面上，滑雪者在B點(diǎn)躍出時的速度v_o應(yīng)滿足什么條件？
（3）若滑雪者躍出后直接落到斜坡上，試推導(dǎo)滑雪者和滑雪板落到斜坡時的總動能E_k隨空中運(yùn)動時間t的變化關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動的時間．
（2）根據(jù)水平位移和時間求出平拋運(yùn)動的初速度滿足的條件．
（3）滑雪者落在斜坡上，結(jié)合豎直位移和水平位移的關(guān)系，求出運(yùn)動的時間，從而得出豎直分速度，結(jié)合平行四邊形定則得出速度的大小，從而得出動能的表達(dá)式．

解答 解：（1）滑雪者在空中作平拋運(yùn)動，則h=$\frac{1}{2}g{{t}_{0}}^{2}$，
解得${t}_{0}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
（2）為使滑雪者躍出后直接落到地面上，則平拋運(yùn)動的水平距離應(yīng)滿足
$x≥\frac{h}{tanθ}$，
則x=v₀t₀，
解得${v}_{0}≥\frac{\sqrt{2gh}}{2tanθ}$．
（3）設(shè)滑雪者平拋運(yùn)動的水平距離和下落的高度分別為x、y，落到斜坡上的水平和豎直分速度分別為v_x、v_y，
則v_y=gt，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
x=$\frac{y}{tanθ}$=v_xt，
${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{x}}^{2}$，
解得E_k=$\frac{1}{2}m{g}^{2}{t}^{2}（1+\frac{1}{4ta{n}^{2}θ}）$，（$t＜\sqrt{\frac{2h}{g}}$）
答：（1）滑雪者在空中運(yùn)動的時間$\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
（2）滑雪者在B點(diǎn)躍出時的速度v_o應(yīng)滿足${v}_{0}≥\frac{\sqrt{2gh}}{2tanθ}$；
（3）滑雪者和滑雪板落到斜坡時的總動能E_k隨空中運(yùn)動時間t的變化關(guān)系為E_k=$\frac{1}{2}m{g}^{2}{t}^{2}（1+\frac{1}{4ta{n}^{2}θ}）$，（$t＜\sqrt{\frac{2h}{g}}$）．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式靈活求解，難度中等．